[論文レビュー] Equilibrium Positions and Eigenfunctions of Shape Invariant (`Discrete') Quantum Mechanics

Satoru Odake, Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|May 9, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有理関数および三角関数的ポテンシャルを有する形状不変な量子系において、古典的多粒子平衡配置と量子単粒子固有関数との間に深い接続を確立し、両者が因子化および形状不変性の性質を通じて、同じ直交多項式（エルミート、ラゲルエル、ヤコビ、連続ハイプゲオメトリックHahn、ウィルソン、アスキ・ウィルソン）によって記述されることを示している。

ABSTRACT

Certain aspects of the integrability/solvability of the Calogero-Sutherland-Moser systems and the Ruijsenaars-Schneider-van Diejen systems with rational and trigonometric potentials are reviewed. The equilibrium positions of classical multi-particle systems and the eigenfunctions of single-particle quantum mechanics are described by the same orthogonal polynomials: the Hermite, Laguerre, Jacobi, continuous Hahn, Wilson and Askey-Wilson polynomials. The Hamiltonians of these single-particle quantum mechanical systems have two remarkable properties, factorization and shape invariance.

研究の動機と目的

• 有理関数および三角関数的ポテンシャルを有する古典的カロジェロ＝シューディンガー＝モーザー系およびルイゼナールズ＝シュナイダー＝ヴァンディイエン系の平衡配置が、特定の直交多項式の零点に一致することを示すこと。
• 対応する単粒子量子系の固有関数が、同じ直交多項式によって記述されることを示すこと。
• これらの量子系のハミルトニアンが因子化および形状不変性を示し、正確な可解性が保証されることを確立すること。
• 楕円型ポテンシャルへのこの結果の拡張可能性を検討すること。ここで、固有関数は未だ未知である。
• 形状不変性が基底状態のデータから固有関数およびスペクトルを構築する上で果たす役割を強調すること。

提案手法

• RSvD系の平衡配置を特定するために、数値解析、関数方程式、および三項再帰関係を用いる。
• ラダー演算子の反復的適用を通じて、形状不変性の概念を応用し、固有関数およびエネルギー準位を構築する。
• 基底状態の波動関数を用いた類似変換を用いて、ハミルトニアンを、固有関数が直交多項式として特定できる形に変換する。
• 形状不変性条件を用いてエネルギー準位を導出し、パrameterと量子数の関数として表現する。
• 離散量子力学に適応されたクルム型構成を用いて、等スペクトルなハミルトニアンおよびその固有関数を生成する。
• 超幾何直交多項式のアスキ・スキームを用いて、異なる系に現れる多項式を分類および関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数および三角関数的ポテンシャルを有する古典的多粒子系の平衡配置は、古典的直交多項式の零点と一致するか？
• RQ2 対応する単粒子量子系の固有関数は、古典的平衡配置と同一の直交多項式によって記述されるか？
• RQ3 量子ハミルトニアンにおける形状不変性が、全スペクトルおよび固有関数をどの程度決定づけるか？
• RQ4 古典的平衡配置と量子固有関数の対応関係は、楕円型ポテンシャルへ拡張可能か？
• RQ5 形状不変性を必要としない離散版のクルムの定理は、等スペクトル系を構築するためのものとして存在するか？

主な発見

• 有理関数および三角関数的ポテンシャルを有する古典的カロジェロ＝シューディンガーおよびルイゼナールズ＝シュナイダー＝ヴァンディイエン系の平衡配置は、エルミート、ラゲルエル、ヤコビ、連続Hahn、ウィルソン、アスキ・ウィルソン多項式の零点として与えられる。
• 同一のポテンシャルを有する単粒子量子系の固有関数は、同じ直交多項式として特定され、直接的な対応関係が確認された。
• これらの量子系のハミルトニアンは因子化され、形状不変性を示し、基底状態および第一励起状態のエネルギーから、スペクトルおよび固有関数を正確に決定可能である。
• アスキ・ウィルソンの場合のエネルギー準位は、明示的に $ E_n = \frac{1}{2}(q^{-n}-1)(1 - a_1a_2a_3a_4q^{n-1}) $ と与えられ、既知の結果と整合している。
• 固有関数は、随伴降下演算子の反復的適用によって構成され、$ \tilde{\rho}_n(z) \triangleq P_n(\text{Re}\thinspace z; a_1,a_2,a_3,a_4|q) $ と表され、これらはアスキ・ウィルソン多項式である。
• $ c \to \infty $ の極限において、エネルギー準位は標準形 $ E_n = \frac{\tilde{\rho}^2\tilde{\rho}^2}{mL^2} 2n(n + g_1 + g_2 + g'_1 + g'_2) $ に簡略化され、有理関数および三角関数的ケースの既知の結果と一致する。