[論文レビュー] Equilibrium Problems and Proximal Algorithms in Hadamard Spaces

Poom Kumam, Parin Chaipunya|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、凸包のコンパクト性を仮定しない一般のハダマード空間における均衡問題の解の存在を確立し、一般のハダマード空間におけるKKM原理の証明を行う。双関数のリゾルベント作用素に基づくプロキシマルアルゴリズムを導入し、弱い連続性および有界性の軽い条件のもとで、そのΔ収束を示す。関数値の収束速度はステップサイズの選択により制御可能である。

ABSTRACT

In this paper, we consider the equilibrium problems and also their regularized problems under the setting of Hadamard spaces. The solution to the regularized problem is represented in terms of resolvent operators. As an essential machinery in the existence of an equilibrium, we first prove that the KKM principle is attained in general Hadamard spaces without assuming the compactness of the closed convex hull of a finite set. We construct the proximal algorithm based on this regularization and give convergence analysis adequately.

研究の動機と目的

• コンパクトな凸包性質（CHFP）を仮定しない一般のハダマード空間へのKKM原理の拡張。
• 標準的な連続性、凸性、強制性の仮定のもとで均衡問題の解の存在を確立すること。
• ハダマード空間における双関数に関連するリゾルベント作用素の性質を研究すること。
• リゾルベント反復を用いたプロキシマルアルゴリズムの構築と収束挙動の解析。
• 収束を保証するための「歪みΔ上半連続性」の概念を導入・利用すること。

提案手法

• 測地線的凸性と距離的性質を用いて、任意のハダマード空間におけるKKM原理を、凸包のコンパクト性を要件としない形で証明する。
• 双関数 $ F $ に対してリゾルベント作用素 $ J_{\mu F} $ を定義し、それが単値的かつ強非拡大的であることを示す。
• ミントイ型の定式化を用いて、原始的および双対的均衡問題の関係を確立する。
• ステップサイズ $ \lambda_k $ が0から離れていることを保証して、$ J_{\lambda_k F} $ の繰り返し適用によるプロキシマルアルゴリズムを構築する。
• ハダマード空間におけるΔ収束解析を実施し、フェージェル単調性および弱収束点の議論を活用する。
• 標準的連続性を超える収束基準を一般化するため、「歪みΔ上半連続性」の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな凸包性質（CHFP）を仮定しない一般のハダマード空間において、KKM原理を確立できるか。
• RQ2 双関数 $ F $ に対して、ハダマード空間におけるリゾルベント作用素 $ J_{\mu F} $ が、どのような条件下で適切に定義され、非拡大的であるか。
• RQ3 リゾルベント反復に基づくプロキシマルアルゴリズムが、ハダマード空間においてどのような収束保証を有するか。
• RQ4 歪みΔ上半連続性の概念が、プロキシマルアルゴリズムの収束にどのように影響するか。
• RQ5 関数値 $ \inf_{y\in K} F(x^k, y) \to 0 $ の収束速度を、列 $ (x^k) $ の収束とは独立に制御できるか。

主な発見

• 任意のハダマード空間において、有限集合の凸包のコンパクト性を仮定しないでKKM原理が成立する。
• 標準的な連続性および凸性条件を満たす任意の双関数 $ F $ に対して、リゾルベント作用素 $ J_{\mu F} $ は単値的かつ強非拡大的である。
• ステップサイズ $ \lambda_k $ が0から離れている限り、$ x^k = J_{\lambda_k F}(x^{k-1}) $ で定義されるプロキシマルアルゴリズムは、均衡問題の解へΔ収束する。
• 双関数 $ F $ が歪みΔ上半連続であると仮定すれば、強い連続性の仮定がなくても、プロキシマルアルゴリズムは解へ収束する。
• 適切なステップサイズを選択することで、関数値 $ \inf_{y\in K} F(x^k, y) $ を任意に速く0へ収束させることができるが、これは列 $ (x^k) $ 自体の速やかな収束を意味しない。
• 関連問題におけるベクトル場 $ A $ の全射性条件は緩和可能であるが、その作用がリゾルベントの定義域を保証する役割が果たす仕組みについては未解決のままである。