[論文レビュー] Equilibrium Pure States and Nonequilibrium Chaos

Charles M. Newman, D. L. Stein|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 1998

Theoretical and Computational Physics参考文献 22被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、深すぎるクエンチ後のスピンガラス系における非平衡ダイナミクスを調査し、対称性の破れた純粋状態を持つ系では、持続的なドメインウォール運動（LNE）のため、局所的に単一の純粋状態に落ち着かないか、あるいは互いに重なりのない非可算多数の純粋状態を必要とする可能性があると示している。主な結果は、ほとんどすべての初期状態が純粋状態の吸引域の境界上に位置することであり、複数の純粋状態を有する系において、時間平均とボルツマン平均が一致しないという仮定に反する。

ABSTRACT

We consider nonequilibrium systems such as the Edwards-Anderson Ising spin glass at a temperature where, in equilibrium, there are presumed to be (two or many) broken symmetry pure states. Following a deep quench, we argue that as time goes to infinity, although the system is usually in some pure state locally, either it never settles permanently on a fixed lengthscale into a single pure state, or it does but then the pure state depends on both the initial spin configuration and the realization of the stochastic dynamics. But this latter case can occur only if there exists an uncountable number of pure states (for each coupling realization) with almost every pair having zero overlap. In both cases, almost no initial spin configuration is in the basin of attraction of a single pure state; that is, the configuration space (resulting from a deep quench) is all boundary (except for a set of measure zero). We prove that the former case holds for deeply quenched two-dimensional ferromagnets. Our results raise the possibility that even if more than one pure state exists for an infinite system, time averages don't necessarily disagree with Boltzmann averages.

研究の動機と目的

• 平衡状態における純粋状態構造がスピン系、特にスピンガラス系における非平衡ダイナミクスにどのように影響するかを理解すること。
• 複数の純粋状態を有する系では、時間平均とボルツマン平均が必ずしも可換でないという一般的な仮定に挑戦すること。
• 初期状態と確率的ダイナミクスの役割が、破れたエルゴード性を示す系における長時間行動をどのように決定するかを分析すること。
• 複数の純粋状態を有する無限大系が、時間平均とボルツマン平均が一致する状態を示す可能性があるかどうかを調査すること。
• 系が単一の純粋状態に留まるか、それとも長時間にわたり状態間を恒久的に遷移し続けるかを決定づける条件を明確化すること。

提案手法

• 時間発展と純粋状態への属性を分析するため、スピン配置上に動的確率測度を構築する。
• 固定された結合定数と確率的初期スピン配置を用いたグラウバー動的法を用いて、深すぎるクエンチプロトコルをモデル化する。
• 配置空間における吸引域の概念を用いて、特定の純粋状態に到達する可能性を評価する。
• 特に、対ごとに重なりがゼロである非可算集合の性質に注目して、純粋状態の構造を分析する。
• 一時的および無限大の時間極限を区別することで、一時的および恒久的なダイナミクス行動を区別する。
• 確率過程およびスピン系の厳密な数学的解析を活用し、イジングスピンガラスおよび強磁性体に一般化可能な原則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の平衡状態における純粋状態を有する系が、非平衡ダイナミクスの過程で単一の純粋状態に落ち着かない条件は何か？
• RQ2 エルゴード性が破れている系において、複数の純粋状態を有する系でも、時間平均とボルツマン平均が一致する可能性はあるか？
• RQ3 深すぎるクエンチ後の配置空間における純粋状態の吸引域の測度論的構造はいかなるものか？
• RQ4 対ごとに重なりがゼロである非可算多数の純粋状態の存在が、長時間ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 系が長期間にわたり非平衡状態（LNE）を示すか、それとも最終的に単一の純粋状態に安定化するかを決定づける要因は何か？

主な発見

• 2次元の深すぎるクエンチを受ける強磁性体では、長期間にわたり非平衡状態（LNE）が継続する：持続的なドメインウォール運動のため、系は単一の純粋状態に落ち着かない。
• 系が最終的に単一の純粋状態に落ち着くとしても、これは非可算多数の純粋状態が存在し、ほとんどすべてのペアが重なりがゼロである場合に限る。
• すべての純粋状態の吸引域の和集合は、配置空間において測度ゼロの集合を形成する。つまり、ほとんどすべての初期状態は、純粋状態の境界上に位置する。
• この境界構造は、時間平均とボルツマン平均が、複数の純粋状態を有する系であっても、一致しないとは限らないことを示唆する。特に、系が各状態およびその全スピン反転状態にほぼ等しい時間を持つ場合に成立する。
• 系が片方の状態に他よりも著しく長い時間を費やす場合、時間平均とボルツマン平均が一致しない可能性があるが、これは観測時間スケールに依存するものであり、純粋状態の多様性そのものとは直接関係しない。
• 結果から、スピンガラス系における緩やかな緩和や長時間にわたる平衡化時間は、メタ安定性や無限大の障壁によるものではなく、小さなドメインサイズと遅いドメインウォール運動に起因する可能性があると示唆される。