[論文レビュー] Equilibrium sets in quintom cosmologies: the past asymptotic dynamics

Genly León, Rolando Cárdenas+1 more|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非双曲的臨界点の曲線上の固定点の近傍で4次までの正規形展開を導出することにより、指数関数的ポテンシャルを有するクイントム宇宙論の過去の漸近的ダイナミクスを分析する。不安定多様体の構造が、初期条件の開集合に対して質量なしスカラー場宇宙論が支配的となることを確認しており、数値結果を補完するとともに、無限遠におけるダイナミクスを分析して、H/φ̇およびφ̇/φ̇̇の特定の変化率を示している。

ABSTRACT

In the previous paper \cite{Lazkoz:2006pa} was investigated the phase space of quintom cosmologies for a class of exponential potentials. This study suggests that the past asymptotic dynamics of such a model can be approximated by the dynamics near a hyperbola of critical points. In this paper we obtain a normal form expansion near a fixed point located on this equilibrium set. We get computationally treatable system up to fourth order. From the structure of the unstable manifold (up to fourth order) we see that that the past asymptotic behavior of this model is given by a massless scalar field cosmology for an open set of orbits (matching the numerical results given in \cite{Lazkoz:2006pa}). We complement the results discussed there by including the analysis at infinity. Although there exists unbounded orbits towards the past, by examining the orbits at infinity, we get that the sources satisfy the evolution rates $\dotϕ^2/V\sim\frac{2m^2}{n^2-m^2}, \dotϕ/\dotφ\sim-m/n,$ with $H/\dotϕ$ approaching zero.

研究の動機と目的

• 指数関数的ポテンシャルを有するクイントム宇宙論の過去の漸近的ダイナミクスを理解すること、特に非孤立な臨界点の近傍で。
• 線形化が失敗する非双曲的臨界点を克服するため、正規形理論を適用すること。
• 平衡集合上にある固定点の近傍で、4次までの高次の正規形展開を計算すること。
• 不安定多様体の構造を分析して、過去の宇宙論的振る舞いの支配的要因を特定すること。
• 無限遠における振る舞いを含めた分析を拡張すること、特に有界でない軌道について。

提案手法

• 位相空間における非双曲的臨界点の曲線（C±）の近傍でのダイナミクスを解析するため、不変多様体定理を適用する。
• 正規形理論を用いて、4次までの項までを含む計算に適したベクトル場に還元する。
• 同調方程式を解き、非共鳴非線形項を除去し、正規形に共鳴成分のみを保持する。
• 線形化系の実ジャコビ形式を用い、ホモロジー作用素の像および核の部分空間に空間を分解する。
• 固有値が共鳴でない場合、ホモロジー作用素の逆行列を用いて係数を解き、4次までの正規形を構成する。
• 得られた正規形を分析して、不安定多様体の構造と、過去の宇宙論的進化に与える影響を推察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数関数的ポテンシャルを有するクイントム宇宙論の、非孤立な臨界点の曲線の近傍における支配的過去漸近的振る舞いは何か？
• RQ2 平衡集合近傍の不安定多様体の構造は、系の長期的過去ダイナミクスをどのように決定するか？
• RQ3 線形化が失敗する非孤立な臨界集合の周囲で、正規形法はダイナミクスを的確に捉えることができるか？
• RQ4 有界でない軌道が過去の無限に近づく際、H/φ̇およびφ̇/φ̇̇の変化率は何か？
• RQ5 無限遠におけるダイナミクスは、Lazkoz:2006pa らの先行研究における数値結果とどのように比較できるか？

主な発見

• 4次までの不安定多様体の構造は、初期条件の開集合に対して、過去の漸近的ダイナミクスが質量なしスカラー場宇宙論に支配されることを確認している。
• 正規形展開は、平衡集合の周囲のダイナミクスを的確に捉えており、Lazkoz:2006pa の数値的結果を裏付けている。
• 無限遠では、H/φ̇ → 0 および φ̇²/V ∼ 2m²/(n²−m²) が成り立ち、φ̇/φ̇̇ ∼ −m/n となる。
• 過去に向けた有界でない軌道が存在するにもかかわらず、導出された変化率に従って明確な漸近的振る舞いを示している。
• 分析により、平衡集合 C± は局所的ソースとして機能しており、数値的に観測された過去のダイナミクスと整合的であることが確認された。
• 正規形に共鳴項が存在する場合でも、補空間 G^r に成分を保持することで、還元の有効性が保証されている。