[論文レビュー] Equilibrium Solutions of Multi-Period Mean-Variance Portfolio Selection

Yuan‐Hua Ni, Xun Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、オープンループ制御とフィードバック戦略を組み合わせた混合均衡解フレームワークを導入することで、多期間平均分散ポートフォリオ選択の均衡解を確立した。非退化性仮定を排除し、この文脈で初めて明示的な可解性条件を提示した。

ABSTRACT

This is a companion paper of [Mixed equilibrium solution of time-inconsistent stochastic LQ problem, arXiv:1802.03032], where general theory has been established to characterize the open-loop equilibrium control, feedback equilibrium strategy and mixed equilibrium solution for a time-inconsistent stochastic linear-quadratic problem. This note is, on the one hand to test the developed theory of that paper, and on the other hand to push the solvability of multi-period mean-variance portfolio selection. A nondegenerate assumption has been removed in this note, which is popular in existing literature about multi-period mean-variance portfolio selection; and neat conditions have been obtained to characterize the existence of equilibrium solutions.

研究の動機と目的

• 混合均衡解の概念を拡張することで、多期間平均分散ポートフォリオ選択における時間不一致問題に対処すること。
• 既存の多期間平均分散モデルの文献で一般的に用いられる非退化性仮定を排除すること。
• 離散時間平均分散ポートフォリオ問題における均衡解の存在のための明快で明示的な条件を導出すること。
• 同伴論文で開発された時間不一致確率的LQ制御の一般理論をテストおよび適用すること。
• オープンループ均衡制御とフィードバック均衡戦略を特別な場合として含む統一的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 純フィードバック戦略部とオープンループ制御部から成る混合均衡解を導入し、時間的一致性を保証すること。
• 無リスク資産とリスク資産を用いた離散時間確率的線形二次（LQ）フレームワークでポートフォリオダイナミクスをモデル化すること。
• 結合されたリカッチ型方程式系を解くことで、均衡解の存在に必要な十分条件を導出すること。
• 逆行列が存在しない場合に対処し、可解性を保証するために、超過リターン行列 $\mathcal{O}_k$ のムーア・ペンローズ逆行列を用いること。
• 同伴論文 [arXiv:1802.03032] で得られた一般理論を、多期間平均分散最適化の特定のケースに適用すること。
• 後退帰納法を用いて均衡戦略および制御を計算し、$\Phi_k$、$v^{0,x}_k$、および状態進化の明示的表現を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多期間平均分散ポートフォリオ選択における非退化性仮定は、可解性を失うことなく排除可能か？
• RQ2 非退化性仮定が存在しない状況下で、均衡解の存在に必要な十分条件は何か？
• RQ3 混合均衡解は、時間不一致ポートフォリオ問題におけるオープンループおよびフィードバック均衡戦略をどのように一般化するか？
• RQ4 時間不一致確率的LQ制御の理論的枠組みは、実用的な多期間平均分散ポートフォリオ選択に成功裏に適用可能か？
• RQ5 超過リターン行列が特異的または非可逆的である場合、均衡解の構造的性質は何か？

主な発見

• 超過リターン行列 $\mathcal{O}_k$ における非退化性仮定が成功裏に排除され、均衡解の適用範囲が拡大された。
• 明快で明示的な均衡解の存在条件が導出された。その条件は、$\mathcal{O}_k^\dagger$、$\mathcal{L}_k$、および $\theta_k$ を含む方程式系の可解性に基づく。
• 異なる $\phi$ 行列を用いた10のテストケースすべてにおいて、$\mathcal{O}_k$ が可逆であれば混合均衡解が存在し、非ゼロ固有値によって確認された。
• 制御および状態ダイナミクスの閉形式表現を含み、$\Phi_k$、$v^{0,x}_k$、および状態進化方程式を用いて混合均衡解が明示的に構築された。
• 特定の条件 $\Phi_k = 0$ またはオープンループ部が初期状態に依存しないように設定することで、オープンループ均衡制御とフィードバック均衡戦略が特別な場合として統一フレームワークに組み込まれた。
• 数値例により、$\mathcal{O}_k$ がフルランクでなくても、ムーア・ペンローズ逆行列を用いれば均衡解が計算可能かつ安定であることが確認された。