[論文レビュー] Equilibrium States for Expanding Thurston Maps

Zhiqiang Li|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2次元球面に視覚的距離を備えた拡張型サーストン写像の平衡状態の存在と一意性を、熱力学的形式主義を用いて確立する。平衡状態が正確な測度であり、混合的かつエルゴディックであることを証明し、前像と確率的逆軌道がホルダー連続なポテンシャルのもとで平衡状態へ等分布することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we use the thermodynamical formalism to show that there exists a unique equilibrium state $μ_ϕ$ for each expanding Thurston map $f: S^2 ightarrow S^2$ together with a real-valued Hölder continuous potential $ϕ$. Here the sphere $S^2$ is equipped with a natural metric induced by $f$, called a visual metric. We also prove that identical equilibrium states correspond to potentials which are co-homologous upto a constant, and that the measure-preserving transformation $f$ of the probability space $(S^2,μ_ϕ)$ is exact, and in particular, mixing and ergodic. Moreover, we establish versions of equidistribution of preimages under iterates of $f$, and a version of equidistribution of a random backward orbit, with respect to the equilibrium state. As a consequence, all the above results hold for a postcritically-finite rational map with no periodic critical points on the Riemann sphere equipped with the chordal metric.

研究の動機と目的

• 2次元球面 $S^2$ 上のホルダー連続なポテンシャルを持つ拡張型サーストン写像の平衡状態の存在と一意性を確立すること。
• 写像の力学的性質のもとで、平衡状態が正確であることを証明し、したがって混合的かつエルゴディックであることを示すこと。
• 前向きの反復における点の前像が平衡状態へ等分布することを示すこと。
• 熱力学的形式主義を用いて、最大測度の測度に関する既知の結果を一般のホルダー連続ポテンシャルへ拡張すること。
• コホノローグなポテンシャルが定数のずれを除き同一の平衡状態を与えることの証明。

提案手法

• 拡張型サーストン写像によって誘導される視覚的距離を備えた球面 $S^2$ 上の熱力学的形式主義を用いる。
• リュエル作用素とスペクトル論を用いて、ポテンシャル $\phi$ に関連する転送作用素を分析する。
• 変分原理を用いて、平衡状態を測度論的圧力を最大化する測度として同定する。
• 正規化された転送作用素の反復の収束を用いて、経験的測度の弱*収束を確立する。
• フールステンベルクおよびキファーのマコフ過程に関する結果を応用し、確率的逆軌道のほとんど確実な等分布性を証明する。
• ポテンシャルのホルダー連続性と写像の拡張性質に依拠し、スペクトルギャップと収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各拡張型サーストン写像 $f: S^2 \to S^2$ と実数値のホルダー連続ポテンシャル $\phi$ に対して、一意な平衡状態が存在するか？
• RQ2 平衡状態のエルゴディック性（例：混合性、正確性）は、写像の力学的性質とどのように関係するか？
• RQ3 前向き反復の下で、点の前像は平衡状態へ等分布するか？
• RQ4 平衡状態は確率的逆軌道のもとで保存され、経験的測度が弱*収束するか？
• RQ5 コホノローグなポテンシャルのもとで、平衡状態はどの程度不変であるか？

主な発見

• 各拡張型サーストン写像 $f: S^2 \to S^2$ と実数値のホルダー連続ポテンシャル $\phi$ に対して、一意な平衡状態 $\mu_\phi$ が存在する。
• 平衡状態 $\mu_\phi$ は正確であるため、混合的かつエルゴディックであり、強いカオス的不変測度である。
• 任意の点の前像は、前向き反復の下で弱*収束により $\mu_\phi$ へ等分布する。これは $\nu_n$ の弱*収束によって示される。
• リュエル作用素 $\mathcal{L}_{\widetilde{\phi}}$ によって生成される確率的逆軌道は、ほとんど確実に $\mu_\phi$ へ等分布する。
• コホノローグなポテンシャルの平衡状態は定数のずれを除き同一であり、$c$ を定数として $\mu_\phi = \mu_{\phi + c}$ が成り立つ。
• すべての結果は、周期的臨界点を持たないPostcritically finiteな有理写像とリーマン球面上の距離（弦的距離）に対しても拡張可能である。