[論文レビュー] Equilibrium states for interval maps: the potential $-t\log |Df|$

Henk Bruin, Mike Todd|ArXiv.org|Apr 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$C^2$ 多モーダル区間写像において、臨界軌道に沿った微分の多項式的成長を示すものに対して、$t$ が 1 の近くにあるとき、潜在関数 $\varphi_t(x) = -t\log|Df(x)|$ の均衡状態の存在と一意性を確立する。圧力関数 $t \mapsto P(\varphi_t)$ が $t=1$ の近傍で解析的であることを証明し、ホーフバウアー塔を用いた自然な誘導スキームと可逆性の議論により、非コールェット＝エーケルマン写像への熱力学的形式主義の拡張を達成する。

ABSTRACT

Let $f:I o I$ be a $C^2$ multimodal interval map satisfying polynomial growth of the derivatives along critical orbits. We prove the existence and uniqueness of equilibrium states for the potential $ϕ_t:x\mapsto -t\log|Df(x)|$ for $t$ close to 1, and also that the pressure function $t \mapsto P(ϕ_t)$ is analytic on an appropriate interval near $t = 1$.

研究の動機と目的

• 臨界軌道に沿った微分の多項式的成長を示す $C^2$ 多モーダル区間写像に対して、潜在関数 $\varphi_t(x) = -t\log|Df(x)|$ の均衡状態の存在と一意性を確立すること。
• 従来の作用素作用素法が失敗する非コールェット＝エーケルマン写像へ熱力学的形式主義を拡張すること。
• 自然な誘導スキームとホーフバウアー塔を用いた枠組みを構築し、異なる誘導構成における均衡状態の可逆性と整合性を保証すること。
• 圧力関数 $t \mapsto P(\varphi_t)$ が $t=1$ の近傍で解析的であることを証明すること。
• 任意の誘導スキームによって生じる非一意的かつ非標準的な測度の問題を解消するため、標準的で自然な誘導スキームのクラスを構築すること。

提案手法

• ホーフバウアー塔を用いて自然な誘導スキームを構築し、区間から可算個の分岐を持つマルコフ拡張へ領域を上げる。
• ホーフバウアー塔のマルコフ性を用いて、周期軌道と非空共通部分を持つ集合が、塔において全領域に引き上げられることを保証する。
• 任意の正エントロピーのエルゴディック測度が、塔の有界レベル集合において一様に正の割合の時間を費やすように、持ち上げの議論を適用する。
• ジェンセンの不等式とシリンダーセットの数え上げを用いてエントロピーの上界を評価し、測度の持ち上げが塔の大部分を避けると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• ホーフバウアー塔の遷移グラフに原始的サブグラフが存在することを用いて吸収集合を定義し、持ち上げられた空間における周期点の存在を保証する。
• 誘導系と可逆性を用いて均衡状態が $t$ に関して解析的に変化することを示すことにより、圧力関数 $P(\varphi_t)$ が $t=1$ の近傍で解析的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界軌道に沿った微分の多項式的成長を示す $C^2$ 多モーダル区間写像において、写像がコールェット＝エーケルマンでない場合でも、潜在関数 $\varphi_t(x) = -t\log|Df(x)|$ の均衡状態が存在するか。
• RQ2 このような写像に対して、圧力関数 $P(\varphi_t)$ が $t=1$ の近傍で解析的であることが示せるか。
• RQ3 均衡状態は一意的であり、作用素作用素の準コンパクト性に依存せずにその一意性を確立できるか。
• RQ4 すべての均衡状態が異なる選択に対して一貫しているような、標準的で自然な誘導スキームを構築できるか。
• RQ5 正エントロピーの測度が、ホーフバウアー塔において一様に正の部分を占めるように持ち上げられることをどのように示せるか。これにより、誘導スキームとの整合性が保証される。

主な発見

• 臨界軌道に沿った微分の多項式的成長を示す $C^2$ 多モーダル区間写像に対して、$t$ が 1 の近傍にあるとき、潜在関数 $\varphi_t(x) = -t\log|Df(x)|$ の均衡状態は存在し、一意的である。
• 圧力関数 $t \mapsto P(\varphi_t)$ は $t=1$ を含む区間で解析的である。
• 任意の正エントロピーのエルゴディック測度は、レベル集合が有界である限り、ホーフバウアー塔における集合に持ち上げられ、その測度は測度に依存しない正の定数 $\eta>0$ で一様に下から抑えられる。
• このような測度の持ち上げは、有界レベル集合のコンパクトに含まれる部分集合において正の割合の時間を費やす必要があり、これにより誘導スキームとの整合性が保証される。
• ホーフバウアー塔と遷移グラフを用いて自然な誘導スキームを構築でき、誘導系が吸収的であり、一意的な均衡状態を有することが保証される。
• 作用素作用素の準コンパクト性に依存しないため、従来の方法が失敗する非コールェット＝エーケルマン写像にも適用可能である。