[論文レビュー] Equilibrium states for Mañé diffeomorphisms

Vaughn Climenhaga, Tom Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ホーラー連続ポテンシャルの下で、トーラス上の強力にトランジティブで部分的双曲的であるマニェ微分同相写像の均衡状態の存在と一意性を確立する。圧力推定とホーラー半ノルムを用いた新規基準を用いて、SRB測度が幾何的ポテンシャルの唯一の均衡状態であることを証明し、これらの状態について大偏差および多分形解析の結果も得る。

ABSTRACT

We study thermodynamic formalism for the family of robustly transitive diffeomorphisms introduced by Mañé, establishing existence and uniqueness of equilibrium states for natural classes of potential functions. In particular, we characterize the SRB measures for these diffeomorphisms as unique equilibrium states for a suitable geometric potential. We also obtain large deviations and multifractal results for the unique equilibrium states produced by the main theorem.

研究の動機と目的

• ホーラー連続ポテンシャルの下でマニェ微分同相写像の均衡状態の存在と一意性を確立すること。
• 幾何的ポテンシャル $\varphi^u(x) = -\log\|Dg|_{E^u(x)}\|$ に対してSRB測度が唯一の均衡状態であることを特徴づけること。
• マニェ族における唯一の均衡状態について、大偏差および多分形解析の結果を導出すること。
• ポテンシャルのホーラー半ノルムに基づく一意性の明示的基準を提供し、広範な関数族に適用可能であるようにすること。
• 非アノソフ的で部分的双曲的力学系への熱力学形式の拡張を、圧力に基づく基準を用いて非一様双曲的系へと展開すること。

提案手法

• Climenhaga-Thompson (2017) の先行研究における圧力理論的基準をマニェ微分同相写像に適用し、指定可能性および拡張性の障害に注目する。
• 均衡状態の一意性を保証する新規基準 $\Psi(\rho,r,\varphi) < P(\varphi;g)$ を用いる。ここで $\Psi$ は $\varphi$ の上界、トポロジカルエントロピー、および関数 $H(r)$ に依存する。
• $f_A$ における均衡状態のエントロピーに基づく圧力 $P(\varphi;g)$ の下界を用い、ホーラー半ノルム $|\varphi|_\alpha$ の関数としての推定を可能にする。
• Pfister-Sullivan理論を用いて上位レベル2の大偏差原理を適用し、均衡状態の弱い上位ギブス性に依存する。
• 変分原理とリャプノフ指数解析を用いて、SRB測度が $\varphi^u$ の唯一の均衡状態であることを同定する。
• 圧力関数 $P(t\varphi^u)$ のルジャンドル変換を用いた多分形形式を適用し、リャプノフ指数のレベル集合のトポロジカルエントロピーと均衡状態エントロピーを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マニェ微分同相写像がホーラー連続ポテンシャルに対して一意な均衡状態をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 マニェ微分同相写像のSRB測度は、幾何的ポテンシャルに対して唯一の均衡状態として特徴づけられるか？
• RQ3 一意性基準がポテンシャルのホーラー半ノルムにどのように依存するか。また、$\rho,r \to 0$ のときのスケーリングはいかなるものか？
• RQ4 マニェ微分同相写像の唯一の均衡状態は大偏差原理を満たすか。その崩壊率は何か？
• RQ5 系の多分形構造は何か。また、リャプノフ指数のレベル集合のトポロジカルエントロピーは圧力関数とどのように関係するか？

主な発見

• 定理Aは、$\Psi(\rho,r,\varphi) < P(\varphi;g)$ という十分条件を提供し、均衡状態の存在と一意性を保証する。ここで $\Psi$ は $\varphi$, $h$, $L$, および $H(r)$ の関数として明示的に定義される。
• 定理Bは、任意の固定された $\alpha$-ホーラー連続ポテンシャル $\varphi$ に対して、任意に小さい $\rho,r$ が存在し、すべての $g \in \mathcal{U}_{\rho,r}$ が一意な均衡状態をもつことを示す。さらに、$\rho,r \to 0$ のとき、半径 $T(\rho,r;\alpha) \to \infty$ となる。
• 任意の $g \in \mathcal{U}_{\rho,r}$ に対して、SRB測度は幾何的ポテンシャル $\varphi^u$ の唯一の均衡状態であり、$P(\varphi^u;g) = 0$ が成り立つ。
• ポテンシャル $\varphi^u$ の唯一の均衡状態 $\mu_1$ は、$h_{\mu_1}(g) - \lambda^+(\mu_1) = 0$ を満たし、SRB測度であることが確認される。
• 均衡状態は上位レベル2の大偏差原理を満たし、自由エネルギーから導かれる関数 $q(\varepsilon)$ による崩壊率の上界が得られる。これは、弱い上位ギブス性に起因する。
• 多分形解析により、$\chi \in [\chi_1, \chi_0]$ に対して $h_{\mathrm{top}}(K_\chi,g) = \inf_t \{P(t\varphi^u) + t\chi\}$ が成り立ち、この下界は $t \in [0,1]$ のある点で達成される。さらに $h_{\mathrm{top}}(K_\chi,g) = h_{\mu_t}(g)$ が成り立つ。