[論文レビュー] Equilibrium with coherent risk

Alexander S. Cherny|ArXiv.org|May 2, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一貫したリスク測度下での金融均衡において、グローバル最適解とコンペティティブ最適解の等価性を確立し、生成子を用いた明示的な幾何的解法と双対記述を提供する。最適性価格の3通りの形式を導入し、制約付き均衡価格がリスク関数の集約最小化により計算可能であることを証明し、市場の摩擦を伴う一貫したリスク枠組みへの一般均衡理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

This paper is the continuation of "Pricing with coherent risk" and deals with further applications of coherent risk measures to problems of finance. First, we study the optimization problem. Three forms of this problem are considered. Furthermore, the results obtained are applied to the optimality pricing. Again three forms of this technique are considered. Finally, we study the equilibrium problem both in the unconstrained and in the constrained forms. We establish the equivalence between the global and the competitive optima and give a dual description of the equilibrium. Moreover, we provide an explicit geometric solution of the constrained equilibrium problem. Most of the results are presented on two levels: on a general level the results have a probabilistic form; for a static model with a finite number of assets, the results have a geometric form.

研究の動機と目的

• 一貫したリスク測度を用いたモデルに一般均衡理論を拡張し、取引コスト、ポジション制約、曖昧な確率測度といった市場の摩擦を扱う。
• 一貫したリスク下での均衡において、グローバル最適解とコンペティティブ最適解の等価性を確立し、古典的なパレート-コンペティティブ等価性を一般化する。
• 凸解析とリスク測度の双対性を用いて均衡の双対的記述を提供し、均衡価格の明示的計算を可能にする。
• エージェントに依存しない、単一エージェント、マルチエージェントの3通りの異なる最適性価格技法を開発し、それぞれ異なる仮定下で公正な価格を導出する。
• 生成子の概念を用いて、制約付き均衡問題の明示的な幾何的解法を導出し、均衡価格とポジションの計算を可能にする。

提案手法

• ポートフォリオ最適化と均衡分析の基盤として一貫したリスク測度を用い、分散の代わりにより頑健なリスク評価を導入する。
• 先行研究で導入された生成子の理論を応用し、有限次元モデルにおける最適化および均衡問題の幾何的解法を提供する。
• 凸双対性を用いて、リスク関数の下界畳み込みにより均衡価格を記述し、均衡の双対的特徴付けを導出する。
• 市場清算および予算制約の下で、個々のリスク関数の和を最小化する変分問題として均衡をモデル化する。
• 極端な測度と生成集合の概念を導入し、特に制約付き設定における均衡価格集合を特徴付ける。
• エージェントがリスク制約と取引戦略の下で効用を最大化するというアロー＝ドゥブレ枠組みを通じて、均衡条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一貫したリスク測度を用いた金融市場において、グローバル最適解とコンペティティブ最適解が等価となる条件は何か？
• RQ2 エージェントが異なるリスク測度を用いる場合、最適性価格はどのように形式化可能か？その結果として得られる公正価格帯は何か？
• RQ3 取引コストとポジション制約を伴う制約付き市場における均衡価格ベクトルの双対表現は何か？
• RQ4 リスク測度の生成子を用いた幾何的解法により、制約付き均衡問題を解くことは可能か？その方法は何か？
• RQ5 エージェントに依存しない、単一エージェント、マルチエージェントの各価格技法は、生成する公正価格帯においてどのように比較可能か？

主な発見

• 一貫したリスク測度下ではグローバル最適解とコンペティティブ最適解が等価であり、古典的福利厚生定理が一貫したユーティリティ枠組みに一般化される。
• 均衡価格の集合は $ E = \mathop{\rm argmin}_{x\in G} f(x) $ で与えられ、ここで $ f(x) = \sum_n f_n(x) $ であり、各 $ f_n(x) $ はエージェント $ n $ の下界リスク関数である。
• 制約付き均衡では、均衡価格ベクトルが個々のリスク関数 $ f_n(x) $ の和の最小化子として明示的に計算可能であり、これらはリスク測度下での期待資産の下界として定義される。
• マルチエージェント最適性価格技法により、個々の公正価格の凸包に等しい公正価格帯が得られ、集団のリスク選好が反映される。
• エージェントに依存しない最適性価格技法は、同一のリスク測度と歴史的確率の下で全エージェントに同一の公正価格を生じさせるが、一貫したリスク下では予想に反する驚きの結果である。
• 生成子を用いた制約付き均衡問題の明示的な幾何的解法が提供され、図11は2資産設定における解を図示している。