[論文レビュー] Equipartition of several measures

Роман Карасев|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、$ q $ が素数のべきである限り、$ \mathbb{R}^d $ 内の任意の $ d $ 個の絶対連続確率測度が、凸分割を用いて同時に $ q $ 個の等積部分に分割可能であることを確立している。証明は、グロモフによるボルス–ウラム定理の一般化と、配置空間のコホモロジーに関するヴァシレエフの補題に基づく位相的技法に依拠しており、測度の等分割およびネックレス分割の結果を高次元および複数の測度へと拡張している。

ABSTRACT

We prove several results of the following type: any $d$ measures in $\mathbb R^d$ can be partitioned simultaneously into $k$ equal parts by a convex partition (this particular result is proved independently by Pablo Soberón). Another example is: Any convex body in the plane can be partitioned into $q$ parts of equal areas and perimeters provided $q$ is a prime power. The above results give a partial answer to several questions posed by A. Kaneko, M. Kano, R. Nandakumar, N. Ramana Rao, and I. Bárány. The proofs in this paper are inspired by the generalization of the Borsuk--Ulam theorem by M. Gromov and Y. Memarian. The main tolopogical tool in proving these facts is the lemma about the cohomology of configuration spaces originated in the work of V.A. Vasil'ev. A newer version of this paper, merged with the similar paper of A. Hubard and B. Aronov is {arXiv:1306.2741}.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{R}^d $ 内の複数の測度が、凸領域を用いて同時に等積部分に分割可能である条件を確立すること。
• 金子、神野、ナンダクマール、ロー、バーラニの提示した測度等分割および凸分割に関する未解決問題を解消すること。
• 位相的道具を用いて「ハムサンドイッチ」定理を $ q > 2 $ の場合、特に素数のべき $ q $ の場合に拡張すること。
• $ q $ が素数のべきであるとき、平面上の任意の凸体が $ q $ 個の等積かつ等周長の凸部分に分割可能であることを示すこと。

提案手法

• 次元 $ n+1 $ の測度分離部分空間 $ L \subset C(X) $ を用いて、関数の比較による一般化されたボロノイ分割を定義する。
• グロモフによるボルス–ウラム定理の一般化を適用し、配置空間から球面への $ \Sigma_q $-等変写像を構成する。
• 置換的制約のゼロ集合解の検出に、ヴァシレエフの配置空間のコホモロジーに関する補題を用いる。
• 測度および関数的等分布をエンコードする写像 $ f_i: F_q(L) \to \alpha_q $ を構築し、対称性と連続性を保証する。
• $ \Sigma_q $-等変拡張技法を用いて、配置空間における空でない部分の条件を処理する。
• コンパクト台付き測度から一般の確率測度への結果の拡張に近似法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q $ が素数のべきであるとき、$ \mathbb{R}^d $ 内の $ d $ 個の測度を凸分割により $ q $ 個の等積部分に分割可能か？
• RQ2 $ q $ が素数のべきであるとき、平面上の凸体を $ q $ 個の等積かつ等周長の部分に同時に分割可能か？
• RQ3 $ r $ 人の泥棒と $ n $ 個の測度を持つネックレスの分割定理は、多項式エンvelopeを用いた位相的等分割原理から導出可能か？
• RQ4 $ \leq n $ 次の $ q $ 個の多項式の上位包絡線に存在する非解析的点の最大数は何か？また、これと等分割制約との関係は？
• RQ5 置換空間のコホモロジーは、測度分割問題に対する対称的解の構成をどのように可能にするか？

主な発見

• $ q $ が素数のべきである限り、$ \mathbb{R}^d $ 内の任意の $ d $ 個の絶対連続確率測度は、凸分割により $ q $ 個の等積部分に分割可能である。
• $ q $ が素数のべきである限り、$ \mathbb{R}^2 $ 内の任意の凸体は、$ q $ 個の等積かつ等周長の凸部分に分割可能である。
• $ q $ が素数のべきであるとき、$ \leq n $ 次の $ q $ 個の多項式の上位包絡線には少なくとも $ n(q-1) $ 個の非解析的点が存在する。これは、切り替え点の下界を示唆する。
• Hausdorff距離における凸体上の連続的関数的（ステインヤー測度など）に対しても結果は拡張可能であり、各部分に均等に分布することが保証される。
• $ q $ が素数のべきでない場合、結果は素数のべき構成を繰り返すことで達成可能であるが、その場合分割は一般化ボロノイ分割ではなくなる可能性がある。
• $ n \geq 3 $ の場合、$ q $ 個の $ n $ 次多項式の上位包絡線に高々 $ n(q-1) $ 個の切り替え点があるという誤った予想は、反例と $ \Omega(q\alpha(q)) $ の成長を示す Davenport–Schinzel 数列により反証された。