[論文レビュー] Equiramified deformations of covers in positive characteristic

Rachel Pries|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正標数における曲線の強力に分岐する被覆の等分岐変形を研究し、分岐軌道および分岐フィルトレーションが一定のままとなる変形のモジュライ空間に注目する。本稿では、形式的群スキームの積の部分スキームとして明示的なモジュライ空間を構成し、分岐フィルトレーションに基づいて、この空間のクルール次元に対するきつい上界および下界を導出する。ガロア群がアーベルな $p$-群である場合には、類体論を用いて上界が達成され、次元の正確な公式が得られる。

ABSTRACT

Suppose $ϕ$ is a wildly ramified cover of germs of curves defined over an algebraically closed field of characteristic p. We study unobstructed deformations of $ϕ$ in equal characteristic, which are equiramified in that the branch locus is constant and the ramification filtration is fixed. We show that the moduli space $M_ϕ$ parametrizing equiramified deformations of $ϕ$ is a subscheme of an explicitly constructed scheme. This allows us to give an explicit upper and lower bound for the Krull dimension $d_ϕ$ of $M_ϕ$. These bounds depend only on the ramification filtration of $ϕ$. When $ϕ$ is an abelian p-group cover, we use class field theory to show that the upper bound for $d_ϕ$ is realized.

研究の動機と目的

• 正標数における曲線のガロア被覆の変形理論を理解すること。古典的特徴0の結果が、無限大の非分岐被覆および導出関数などの細かい分岐不変量により失敗するためである。
• 等標数の変形条件下で、分岐軌道および分岐フィルトレーションを保つ「等分岐」変形（非障害的）を分析すること。
• このような等分岐変形をパラメトライズする明示的なモジュライ空間 ${\cal M}_{\phi}$ を構成し、そのクルール次元を被覆の分岐フィルトレーションの言語で特定すること。
• ${\cal M}_{\phi}$ のクルール次元 $d_{\phi}$ に対する鋭い上界および下界を確立し、上界がいつ達成されるかを特定すること。
• 通常の曲線および $A\rtimes\mu_m$-被覆の結果を、より一般の $p$-群被覆、特にアーベルな $p$-群被覆に拡張すること。類体論を用いて行う。

提案手法

• 被覆 $\phi$ の分岐フィルトレーションの各成分に対応するスキームの積の部分スキームとしてモジュライ空間 ${\cal M}_{\phi}$ を構成する。
• 形式的パッチングおよび局所／グローバル変形理論を用いて、問題をインert性群 $I$ を持つ曲線の局所的芽の変形の研究に還元する。
• 部分被覆上のガロア作用を用いて、固定された商を支配する $I$-ガロア被覆の族を分析し、それらが $A\rtimes\mu_m$-被覆の群のツォルスに成ることを示す。
• アーベルな $p$-群被覆の場合、類体論を用いて $d_{\phi}$ の上界を実現し、${\cal M}_{\phi}$ が $\mathbb{F}_p^*$-作用を除いた $\hat{\mathbb{G}}_a$-スキームの積に同型であることを示す。
• アーティン＝シュライヤー方程式を用いて、$v^2 - v = u + a_1u$、$w^2 + w = v + a_2u$、$y^2 - y = w^3 + a_3u$ のような明示的な変形族を構成し、等変化族を構築し、ファイバーの連結性を分析する。
• 正規化および標準形変換を用いて、ファイバーの genus および連結性を決定し、アーティン＝シュライヤー方程式における主要項の次数解析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における強力に分岐する被覆 $\phi$ の等分岐変形をパラメトライズするモジュライ空間 ${\cal M}_{\phi}$ の構造はどのように理解できるか？
• RQ2 ${\cal M}_{\phi}$ のクルール次元 $d_{\phi}$ は、$\phi$ の分岐フィルトレーションを用いてどのように評価できるか？
• RQ3 上界 $d_{\phi}$ はいつ達成され、ガロア群の群論的条件は何か？
• RQ4 特にアーベルな $p$-群被覆の場合に、${\cal M}_{\phi}$ の全次元を実現する明示的な変形族を構成できるか？
• RQ5 分岐不変量（例えば下位ジャンプや導出関数）は、変形空間および全被覆の genus にどのように影響するか？

主な発見

• 等分岐変形のモジュライ空間 ${\cal M}_{\phi}$ は、$\phi$ の分岐フィルトレーションの各ジャンプに対応する明示的に構成されたスキームの積の部分スキームである。
• ${\cal M}_{\phi}$ のクルール次元 $d_{\phi}$ は、$\phi$ の分岐フィルトレーションにのみ依存する明示的な上界および下界を満たす。
• アーベルな $p$-群被覆の場合、$d_{\phi}$ の上界が達成され、${\cal M}_{\phi}$ は $\mathbb{F}_p^*$-作用を除いた $\hat{\mathbb{G}}_a$-スキームの積に同型である。
• 類体論および高次分岐フィルトレーションのブレイク点を用いて、アーベルな $p$-群の場合の $d_{\phi}$ の正確な公式が導出される。
• $D_8$-ガロア被覆（インテンシティ群 $D_8$）を $\mathbb{P}^1$ 上で考える場合、2次元の等分岐変形族が構成され、$d_{\hat{\Phi}} = 2$ であることが示される。
• 次元の境界は鋭い：$D_8$-被覆では $1 \leq d_{\hat{\Phi}} \leq 3$ であり、実際の次元は2である。上界は一般には達成されず、四元数群の例によってそれが示される。