[論文レビュー] Equisingular Deformations of Plane Curve and of Sandwiched Singularities

Theo de Jong|ArXiv.org|Nov 15, 2000

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、装飾パラメータ $ l $ が十分に大きいとき、孤立平面曲線特異点とその関連するサンドイッチ特異点の等相型変形が同値であることを確立する。最小良い解体を用いて、等相型のイデアルを計算する帰納的アルゴリズムを提示し、変形函手とコホモロジー的データの比較を通じて、等相型ストラトゥムの次元に関する公式を導出する。

ABSTRACT

Let $C$ be an isolated plane curve singularity, and $(C,l)$ be a decorated curve. In this article we compare the equisingular deformations of $C$ and the sandwiched singularity $X(C,l)$. We will prove that for $l \gg 0$ the functor of equisingular deformations of $C$ and $(C,l)$ are equivalent. From this we deduce a proof of a formula for the dimension of the equisingular stratum. Furthermore we will show how compute the equisingularity ideal of the curve singularity $C$, given the minimal (good) resolution of $C$.

研究の動機と目的

• 平面曲線特異点 $ C $ とその関連するサンドイッチ特異点 $ X(C,l) $ の間の等相型変形の対応を、$ l $ が十分に大きい場合に確立すること。
• 最小良い解体を用いて、平面曲線特異点の等相型イデアルを計算するアルゴリズムを提供すること。
• 変形函手とコホモロジー的不変量の比較を通じて、$ C $ の等相型ストラトゥムの次元に関する公式を導出すること。
• 等相型イデアルが、コホモロジー群 $ H^1(F_i, N_{F_i/Z}) $ を含む写像の核として生じることを示し、変形理論と解体幾何を結びつける。

提案手法

• 同時解体函手を用いて、共通の解体を許す $ C $ の変形を記述し、全変形函手の部分函手を形成する。
• 等相型イデアルを、同時解体函手の接空間から直接和 $ \oplus H^1(F_i, N_{F_i/Z}) $ への写像 $ \varphi $ の核として定義する。ここで $ F_i $ は最小良い解体 $ Z $ の例外的曲線である。
• ワールの等相型変形に関する結果を応用し、すべての例外的曲線 $ F_i $ の自明な変形が等相型を意味することを活用する。
• 吹き上げの普遍性を用いて、サンドイッチ特異点 $ X(C,l) $ と $ X(C',l') $ 間の同型を、それらの最小解体の同型に持ち上げることで、$ l $ が十分に大きいとき $ C $ と $ l $ の一意性を証明する。
• サンドイッチ特異点 $ X(C,l) $ のアーツィン成分の2つの独立した公式を用いて、$ C $ の等相型ストラトゥムの次元を導出し、閉じた形の式を得る。
• 逐次的吹き上げを通じて、例外的除因子に沿った微小変形を解析し、変形データを追跡することで、等相型イデアルを計算する帰納的アルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、平面曲線 $ C $ とその関連するサンドイッチ特異点 $ X(C,l) $ の等相型変形函手が同値となるか？
• RQ2 平面曲線特異点の等相型イデアルは、その最小良い解体からどのように計算できるか？
• RQ3 等相型ストラトゥムの正確な次元は何か？ そして、変形理論的およびコホモロジー的データからどのように導出できるか？
• RQ4 $ l $ が十分に大きいとき、$ C $ の解析的型が $ X(C,l) $ の解析的型を決定する程度はどの程度か？ 逆に、$ X(C,l) $ の解析的型が $ C $ の解析的型をどの程度決定するか？
• RQ5 どの微小変形が解体に非自明な変形を誘発し、どの変形が等相型変形をもたらすか？

主な発見

• $ l \gg 0 $ のとき、$ C $ と $ X(C,l) $ の等相型変形函手は同値であり、曲線と曲面特異点の変形理論の間の強い対応関係が確立される。
• 等相型イデアルは、同時解体函手の接空間から $ \oplus H^1(F_i, N_{F_i/Z}) $ への写像 $ \varphi $ の核として実現され、コホモロジー的計算が可能になる。
• 等相型ストラトゥムの次元は、$ X(C,l) $ のアーツィン成分の2つの公式の比較を通じて計算され、明確な次元公式が得られる。
• 最小良い解体から、逐次的吹き上げと変形データの追跡を用いて、等相型イデアルを計算する帰納的アルゴリズムが提供される。
• 例として $ f = y^7 + x^5y^3 $ を取り上げると、等相型ストラトゥムの次元は 6 であり、等相型イデアルは $ y^7 + x^5y^3 $、$ 10x^4y^4 + 10x^9 + 11x^{10} $、$ x^3y^6 + x^8y^2 + x^9y^2 $、$ x^{11} $、$ x^{10} $、$ x^9y^2 $、$ x^8y^3 $ で生成される。
• 自明なセクションでは捉えきれない余分な微小等相型変形は、明示的に $ (y^4 + x^5 + \varepsilon x^3y^2)^2 + x^{11} $ として与えられ、ストラトゥムが自明な変形局所有来よりも厳密に大きいことを示している。