[論文レビュー] Equisingularity, Multiplicity, and Dependence

Steven L. Kleiman|ArXiv.org|May 13, 1998

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、関数を伴う孤立完全交差特異点（ICIS）の族に対する A_f および W_f 同様特異性条件を、ミルナー数とブッハバウム＝リム多重度の定数性によって特徴づけている。自由加群の部分加群上での元の整域的従属理論を用いて、これらの同様特異性条件を多重度不変量の観点から再定式化し、特異点の族における研究のための新しい代数的幾何的枠組みを提供している。

ABSTRACT

This is a report on some recent work by Gaffney, Massey, and the author, characterizing the conditions A_f and W_f for a family of ICIS germs equipped with a function. First we introduce the work informally. Then we review the formal definitions of A_f and W_f, and state the theorems that characterize them by the constancy of Milnor numbers. Next we review the definition of the Buchsbaum-Rim multiplicity, and reformulate the theorems by the constancy of certain Buchsbaum-Rim multiplicities. Finally, we review the theory of integral dependence of elements on submodules of free modules, and apply it to prove the reformulated theorems.

研究の動機と目的

• 関数を伴う ICIS ローカル・ジェルムの族に対する A_f および W_f 同様特異性条件を特徴づけること。
• ミルナー数の代わりにブッハバウム＝リム多重度の定数性を用いて、これらの条件を再定式化すること。
• 自由加群の部分加群上での元の整域的従属理論を応用して、再定式化された定理を証明すること。
• 多重度不変量と同様特異性の関係を結ぶ代数的幾何的枠組みを提供すること。
• 同様特異性、多重度、複素解析幾何における加群論的従属の間のより深い関係を確立すること。

提案手法

• 関数を伴う ICIS ローカル・ジェルムの族に対する A_f および W_f 条件を導入し、形式化すること。
• ブッハバウム＝リム多重度の定義をレビューし、それを用いて同様特異性定理を再記述すること。
• 自由加群の部分加群上での元の整域的従属理論を応用して、ヤコビアン・イデアルの構造を分析すること。
• ミルナー数の定数性を同様特異性を特徴づける主要な不変量として用いること。
• 特定のモジュールのブッハバウム＝リム多重度の定数性に基づいて、同様特異性基準を再定式化すること。
• 可換代数からの代数的技法を用いて、再定式化された条件の同値性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数を伴う ICIS ローカル・ジェルムの族が、A_f もしくは W_f の意味で同様特異性を示すのはどのような条件下か？
• RQ2 ミルナー数の定数性は、A_f および W_f 同様特異性を特徴づけるのにどのように利用できるか？
• RQ3 ブッハバウム＝リム多重度は、同様特異性の不変量としてミルナー数の代わりにどのように置き換えられるか？
• RQ4 自由加群の部分加群上での元の整域的従属は、特異点の族における同様特異性とどのように関係するか？
• RQ5 同様特異性と多重度の定数性の同値性を裏付ける代数的構造は何か？

主な発見

• 関数を伴う ICIS ローカル・ジェルムの族に対する A_f および W_f 同様特異性条件は、ミルナー数の定数性によって特徴づけられる。
• 同様特異性定理は、ヤコビアン・イデアルに関連する特定のモジュールのブッハバウム＝リム多重度の定数性を用いて再定式化されている。
• 自由加群の部分加群上での元の整域的従属理論は、再定式化された同様特異性基準を証明するための主要な道具である。
• ブッハバウム＝リム多重度の定数性は、研究された族における A_f および W_f 同様特異性の必要十分条件である。
• 代数的枠組みは、同様特異性、多重度不変量、加群論的従属の関係を、複素解析的特異点において効果的に結びつけた。
• 本研究の結果は、多重度と従属理論を通じた同様特異性の新しい代数的幾何的視点を確立した。