[論文レビュー] Equitable Partitions into Matchings and Coverings in Mixed Graphs

Tamás Király, Yu Yokoi|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、混合グラフにおけるマッチングフォレストの被覆対応物として、混合エッジカバーを導入し、マッチング–被覆双対性を混合構造へと拡張する。サイズ差が1または2で有界であるk個のマッチングフォレストまたは混合エッジカバーへの分割が可能である等分配定理を確立し、最適なマルチ基準等分配を達成する。

ABSTRACT

Matchings and coverings are central topics in graph theory. The close relationship between these two has been key to many fundamental algorithmic and polyhedral results. For mixed graphs, the notion of matching forest was proposed as a common generalization of matchings and branchings. In this paper, we propose the notion of mixed edge cover as a covering counterpart of matching forest, and extend the matching--covering framework to mixed graphs. While algorithmic and polyhedral results extend fairly easily, partition problems are considerably more difficult in the mixed case. We address the problems of partitioning a mixed graph into matching forests or mixed edge covers, so that all parts are equal with respect to some criterion, such as edge/arc numbers or total sizes. Moreover, we provide the best possible multicriteria equalization.

研究の動機と目的

• マッチングフォレストの被覆対応物としての混合エッジカバーを導入することで、無向グラフにおける古典的マッチング–被覆双対性を混合グラフへと拡張すること。
• エッジとアークの両方が部分集合に均等に分配されるように、混合グラフにおける等分配分割問題を扱うこと。
• マッチングフォレストまたは混合エッジカバーへの分割において、サイズ差を最小化することで、最良のマルチ基準等分配を達成すること。
• マッチングおよびブランチングに関する既知の等分配結果を、より複雑な混合グラフ設定へと一般化すること。

提案手法

• 混合エッジカバーを、F ⊆ E ∪ A として定義し、F ∩ E のある e の端点から F ∩ A 内の有向パスで到達可能なすべての頂点がカバーされることを要件とする。
• 包含関係において、最小混合エッジカバーと最小混合被覆フォレストが同値であることを証明し、最適化において相互に置き換え可能であることを可能にする。
• 最小重み混合エッジカバー問題を補助グラフにおける完全マッチングフォレスト最適化問題に還元し、多項式時間での計算を可能にする。
• 2段階のアルゴリズムフレームワークを用いて、k個の互いに素な部分構造（マッチングフォレストまたは混合エッジカバー）のサイズを段階的に部分間でバランスさせる。
• 多面体的技術と総二重整数性を活用し、混合エッジカバー多面体の凸包記述を導出する。
• 格子に基づく再分割技術を用いて、サイズ差を有界に保つ：混合エッジカバーに対しては ||Fi| − |Fj|| ≤ 2 および ||Ni| − |Nj|| ≤ 1、マッチングフォレストに対しても同様の有界性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおけるマッチング–被覆双対性は、自然な被覆構造を用いて混合グラフへと拡張可能か？
• RQ2 エッジ、アーク、総サイズに関して、混合グラフをk個のマッチングフォレストまたは混合エッジカバーに分割する際の最良の等分配は何か？
• RQ3 エッジとアークの制約が結合された混合構造では、独立にバランスを取ることが不可能な場合に、等分配分割をどのように達成できるか？
• RQ4 マッチングフォレストおよび混合エッジカバーの両方において、サイズ差が1または2以下である最良のサイズバランスが保証可能か？
• RQ5 等分配分割が存在し、かつ混合グラフにおいて効率的に計算可能であることを保証する構造的およびアルゴリズム的性質は何か？

主な発見

• 混合エッジカバーは、マッチングフォレストの被覆対応物として導入され、無向グラフにおけるエッジカバーと有向グラフにおけるバイブランチングを一般化する。
• 最小重み混合エッジカバー問題は、補助グラフにおける完全マッチングフォレスト問題に還元可能であり、多項式時間で解ける。
• 混合エッジカバー多面体は、シュリーヴァーのマッチングフォレストに関する結果を混合設定へと拡張した、総二重整数性を有する。
• 任意の混合グラフがk個のマッチングフォレストに分割可能である場合、すべてのi, jに対して |Fi| − |Fj| ∈ {−1, 0, 1} を満たす再分割が存在する。
• 混合エッジカバーに関しては、||Fi| − |Fj|| ≤ 2 および ||Ni| − |Nj|| ≤ 1 が達成可能であり、ここで |Fi| と |Ni| はそれぞれ総サイズとエッジサイズを表す。
• 構造的同値性を介して、混合被覆フォレストおよびバイブランチングへと結果を拡張でき、わずかな境界の調整を除き、同様のサイズバランスの境界が得られる。