[論文レビュー] Equivalence and Isomorphism for Boolean Constraint Satisfaction

E. Boehler, Edith Hemaspaandra+2 more|ArXiv.org|Feb 25, 2002

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ブール制約充足問題における同値性および同型問題の二分法定理を確立する。任意の有限なブール関数集合 𝒞 に対して、二つの制約充足インスタンスが同値であるかどうかを判定することは、𝒞 がシューファーである場合に限り多項式時間で解けるか、そうでない場合には coNP-完全である。この二択を判別する簡単な基準が存在する。同型問題は、同値問題が coNP-完全である場合に coNP-困難となり、それ以外の場合はグラフ同型問題への多項式時間多対一還元可能である。

ABSTRACT

A Boolean constraint satisfaction instance is a conjunction of constraint applications, where the allowed constraints are drawn from a fixed set B of Boolean functions. We consider the problem of determining whether two given constraint satisfaction instances are equivalent and prove a Dichotomy Theorem by showing that for all sets C of allowed constraints, this problem is either polynomial-time solvable or coNP-complete, and we give a simple criterion to determine which case holds. A more general problem addressed in this paper is the isomorphism problem, the problem of determining whether there exists a renaming of the variables that makes two given constraint satisfaction instances equivalent in the above sense. We prove that this problem is coNP-hard if the corresponding equivalence problem is coNP-hard, and polynomial-time many-one reducible to the graph isomorphism problem in all other cases.

研究の動機と目的

• 二つのブール制約充足インスタンスが同値であるかどうかを判定する計算量の分類を行う。
• ブール制約充足インスタンスの同型問題を分析し、特にグラフ同型問題との関係を明らかにする。
• シューファーの二分法定理を制約充足の同値性および同型問題へ拡張する。
• 制約言語 𝒞 の性質に基づいた、同値性の複雑さの完全かつ構成的分類を提供する。
• 制約系における同値性問題と最小化問題との間の関係を確立する。

提案手法

• 固定された有限集合 𝒞 のブール関数に基づく制約の応用の二つ組が論理的に同値であるかどうかを判定する問題を、EQUIV(𝒞) と定義する。
• 同値性を真理値表クエリによる含意チェックに還元することで、EQUIV(𝒞) が coNP に属することを証明する。
• トレーラブルな制約言語（ホーン、アンチホーン、アフィン、バイジュンクティブ）のシューファー分類を、トレーラビリティの主要基準として用いる。
• 𝒞 がシューファー（特定の閉包性質に関して閉じている）であるならば、EQUIV(𝒞) が CSPc(𝒞) への還元によって P に属することを示す。CSPc(𝒞) は既に P に属することが知られている。
• 非シューファー 𝒞 に対しては、非充足可能性問題からの還元により coNP-困難性を証明する。非充足性は定数 0 との同値性と等価であることに着目する。
• 同型問題を分析する際、EQUIV(𝒞) が coNP-困難である場合に同型問題も coNP-困難であり、それ以外の場合はグラフ同型問題への多項式時間多対一還元可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限なブール関数集合 𝒞 に対して、制約充足インスタンスの同値性問題が多項式時間で解けるか？
• RQ2 ブール制約充足インスタンスの同型問題の計算量的複雑さは何か？ そしてそれはグラフ同型問題とどのように関係するか？
• RQ3 充足可能性のシューファーの二分法定理と同様に、同値性問題を二分法定理で分類できるか？
• RQ4 制約に定数が含まれる場合、同値性および同型問題の複雑さにどのような影響を与えるか？
• RQ5 制約系における同値性問題と最小化問題との関係は何か？

主な発見

• 同値性問題 EQUIV(𝒞) は、かつて 𝒞 がシューファー（すなわちホーン、アンチホーン、アフィン、またはバイジュンクティブな閉包性質に関して閉じている）である場合に限り、P に属する。
• 𝒞 がシューファーでない場合、EQUIV(𝒞) は非充足性問題からの還元により coNP-完全である。
• 定数を含む同値性問題 EQUIVc(𝒞) は、𝒞 がシューファーである場合に限り P に属し、そうでない場合には coNP-完全である。
• ブール制約充足インスタンスの同型問題は、EQUIV(𝒞) が coNP-困難である場合に coNP-困難である。
• その他のすべての場合（すなわち、EQUIV(𝒞) が P に属する場合）、同型問題はグラフ同型問題への多項式時間多対一還元可能である。
• 本稿は、𝒞 の閉包性質に基づいて、EQUIV(𝒞) がトレーラブルか非トレーラブルかを判別可能な簡単な決定可能基準を提供する。