[論文レビュー] Equivalence between Extendibility and Factor-Criticality

Zan‐Bo Zhang, Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非二部グラフにおける $k$-extendability と $2k$-factor-criticality の間の等価性を保証する、$k$ のタイトな下界を確立している。また、奇数次のグラフにおいては $k\frac{1}{2}$-extendability と $(2k+1)$-factor-criticality の間の等価性についても示している。$k \geq (\nu+2)/4$ のとき、非二部グラフは $k$-extendable であることと $2k$-factor-critical であることの必要十分条件であることを証明している。同様に $k \geq (\nu-3)/4$ のとき、グラフは $k\frac{1}{2}$-extendable であることと $(2k+1)$-factor-critical であることの必要十分条件である。両方の境界は、反例の構成によって最適であることが示されている。

ABSTRACT

In this paper, we show that if $k\geq (ν+2)/4$, where $ν$ denotes the order of a graph, a non-bipartite graph $G$ is $k$-extendable if and only if it is $2k$-factor-critical. If $k\geq (ν-3)/4$, a graph $G$ is $k\ 1/2$-extendable if and only if it is $(2k+1)$-factor-critical. We also give examples to show that the two bounds are best possible. Our results are answers to a problem posted by Favaron [3] and Yu [11].

研究の動機と目的

• 非二部グラフにおける $k$-extendability と $n$-factor-criticality の間の非自明な関数の存在を、Favaron と Yu が提起した長年の未解決問題を解決すること。
• グラフの位数 $\nu$ に対して、$k$-extendable グラフが $2k$-factor-critical であることを保証する $k$ の最小値を特定すること。
• $k\frac{1}{2}$-extendable グラフへの等価性の拡張を行い、$(2k+1)$-factor-criticality の対応する閾値を確立すること。
• 導出された $k$ の境界が最良であることを示すために、$k$ が小さい場合に等価性が成立しない極値グラフの構成を行うこと。

提案手法

• 帰納法とマッチング拡張の議論を用いて、$k \geq (\nu+2)/4$ を満たす $k$-extendable な非二部グラフが $2k$-factor-critical であることを証明する。
• Lemma 1.8 から導かれる事実（$k$-extendable グラフはすべての $m \leq k$ に対して $m$-extendable である）を用い、問題をより小さいケースに還元する。
• 因子臨界性の概念を適用し、$G-S$ が完全マッチングを持たないような $2k$ 個の頂点からなる集合 $S$ が存在すると仮定し、$G-v$ におけるマッチング拡張によって矛盾を導く。
• $H^{(k)} = I_{k+2} \vee (K_{k+3} \cup K_{2k})$ というグラフ族を構成し、$k < (\nu-3)/4$ のとき $k\frac{1}{2}$-extendability が $(2k+1)$-factor-criticality を含まないことを示す。
• 頂点分割の偶奇性とサイズの議論を用いて、$H^{(k)}$ が任意の $2k+1$ 個の頂点を削除しても完全マッチングをもつことを示し、$k\frac{1}{2}$-extendibility を証明する。
• 既知の最小次数および連結性に関する結果（例：Lemma 1.10）を活用し、$k$-extendable グラフの構造的性質を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非二部グラフにおいて、$k$-extendability が $2k$-factor-criticality を含むための $\nu$ に対する $k$ の値は何か？
• RQ2 $k$-extendability と $2k$-factor-criticality の等価性に対して、$k \geq (\nu+2)/4$ の境界が最適であるか？
• RQ3 $k\frac{1}{2}$-extendability と $(2k+1)$-factor-criticality の間にも同様の等価性が成立するか？ そのときの最小の $k$ は何か？
• RQ4 導出された $k$ の境界は最良であるか、それとも改善可能か？
• RQ5 極値構成を用いて、境界がタイトであることを示せるか？

主な発見

• $k \geq (\nu+2)/4$ のとき、非二部グラフは $k$-extendable であることと $2k$-factor-critical であることの必要十分条件である。
• $k \geq (\nu-3)/4$ のとき、グラフは $k\frac{1}{2}$-extendable であることと $(2k+1)$-factor-critical であることの必要十分条件である。
• $k$-extendable グラフに対する境界 $k \geq (\nu+2)/4$ は最適であり、$k < (\nu+2)/4$ のとき反例によって示されている。
• $k\frac{1}{2}$-extendable グラフに対する境界 $k \geq (\nu-3)/4$ に対しても同様に最適であり、$H^{(k)}$ の構成によって実証されている。
• $H^{(k)} = I_{k+2} \vee (K_{k+3} \cup K_{2k})$ は $k\frac{1}{2}$-extendable であるが $(2k+1)$-factor-critical ではないため、境界の鋭さが証明される。
• Favaron と Yu が提起した、$k$-extendibility と $n$-factor-criticality の間の非自明な関数の存在に関する未解決問題が、本研究で解決された。