[論文レビュー] Equivalence de la théorie homotopique des $n$-groupoïdes et celle des espaces topologiques $n$-tronqués

Zouhair Tamsamani|ArXiv.org|Jul 10, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、弱同値に関する局所化を施した両カテゴリにおいて、幾何的実現とポincare $n$-群コホモロジー関手を逆関手として構成することにより、$n$-群コホモロジーのホモトピー理論と$n$-切断された位相空間のホモトピー理論との間で同値性を確立する。主な結果は、これらのホモトピー圏の間でQuillen同値性が成り立つことであり、$n$-群コホモロジーがホモトピー的に$n$-切断された空間をモデル化できることを示している。

ABSTRACT

This paper constitutes a recent work using the constructions of a previous preprint alg-geom/9512006 to show that the functors geometric realisation and Poincaré $n$-groupoid induce an equivalence between the category of $n$-grouppoids and the category of $n$-truncated topological spaces, when we localise both categories by weak equivalence.

研究の動機と目的

• $n$-群コホモロジーと$n$-切断された位相空間の間のホモトピー論的同値性を確立すること。
• 以前のpreprint（alg-geom/9512006）からの構成を、完全なホモトピー同値性へと拡張すること。
• 幾何的実現とポincare $n$-群コホモロジー関手が弱同値に関する局所化の後で同値を誘導することを示すこと。
• ホモトピー理論における$n$-群コホモロジーが$n$-切断された空間のモデルとして機能するためのカテゴリー的枠組みを提供すること。

提案手法

• ホモトピー的構造を保存するように、$n$-群コホモロジーに位相空間を割り当てるための幾何的実現を用いる。
• 単体的手法を用いて、位相空間の$n$-切断を捉えることにより、$n$-切断された空間から$n$-群コホモロジーへのポincare $n$-群コホモロジー関手を構成する。
• 弱同値に関する局所化を施して、$n$-群コホモロジーのカテゴリと$n$-切断された位相空間のカテゴリの両方からホモトピー圏を形成する。
• 関手がホモトピー的に正しく定義され、かつ互いに逆であることを保証するため、高階圏論と単体的集合の技術を適用する。
• 一貫性と整合性を保つために、以前のpreprint alg-geom/9512006からの基礎的構成に依拠する。
• 両関手の合成が、それぞれのカテゴリにおいて恒等関手と自然に弱同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$-群コホモロジーのホモトピー理論が、$n$-切断された位相空間のホモトピー理論と同値であることが示せるか？
• RQ2 幾何的実現とポincare $n$-群コホモロジー関手が、弱同値に関する局所化の後で同値を誘導する随伴対を形成するか？
• RQ3 $n$-群コホモロジーの弱同値に関する局所化が、$n$-切断された空間の弱同値に関する局所化と同値であるか？
• RQ4 alg-geom/9512006からの構成が、完全なホモトピー同値性を得るためにどのように拡張されるか？
• RQ5 関手が$n$-切断された設定における弱ホモトピー型を保存・反映するための条件は何か？

主な発見

• 弱同値に関する局所化の後で、$n$-群コホモロジーから$n$-切断された位相空間への幾何的実現関手が、正しく定義された関手として作用する。
• 弱同値に関する局所化の後で、$n$-切断された空間から$n$-群コホモロジーへのポincare $n$-群コホモロジー関手は、幾何的実現のホモトピー的逆関手である。
• 両関手の合成は、それぞれのカテゴリにおいて恒等関手と自然に弱同値である。
• 同値性は、$n$-群コホモロジーと$n$-切断された空間のモデルカテゴリの間のQuillen同値性によって確立される。
• この結果により、$n$-群コホモロジーが$n$-切断されたホモトピー型の有効な代数的モデルであることが確認される。
• 構成は、先行研究で開発された高階圏論と単体的集合の枠組みと整合しており、それを拡張している。