[論文レビュー] Equivalence determination of unitary operations

Atsushi Shimbo, Akihito Soeda+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限の量子サンプルを用いて、2つの候補ユニタリのうちの1つに一致するターゲットブラックボックスユニタリを同定するユニタリ操作の同値性決定を研究する。半定値計画法（SDP）に定式化することで、一般の適応的プロトコルが並列化された手法を上回ることを示したが、特定のサンプル数では並列化された手法が最適性能を達成する。顕著な点として、有限の量子サンプルであっても、正確な古典的記述が得られないにもかかわらず、完全な古典的記述がある場合と同等の精度で同値性決定が可能であることが示された。

ABSTRACT

We study equivalence determination of unitary operations, a task analogous to quantum state discrimination. The candidate states are replaced by unitary operations given as a quantum sample, i.e., a black-box device implementing a candidate unitary operation, and the discrimination target becomes another black-box. The task is an instance of higher-order quantum computation with the black-boxes as input. The optimal error probability is calculated by semidefinite programs. Arbitrary quantum operations applied between the black-boxes in a general protocol provide advantages over protocols restricted to parallelized use of the black-boxes. We provide a numerical proof of such an advantage. In contrast, a parallelized scheme is analytically shown to exhibit the optimal performance of general schemes for a particular number of quantum samples of the candidates. We find examples of finite-sample equivalence determination that achieve the same performance as when a classical description of the candidates are provided, although an exact classical description cannot be obtained from finite quantum samples.

研究の動機と目的

• ターゲットブラックボックスユニタリが2つの候補ユニタリのいずれかに一致するかどうかを、量子サンプルとして提供されたものから同定するタスクを調査すること。
• ユニタリ同値性決定において、一般の適応的プロトコルが制限付きの並列化プロトコルを上回る性能向上を示す条件を分析すること。
• 有限の量子サンプルが、候補の完全な古典的記述がある場合と同等の性能を達成できる条件を特定すること。
• さまざまな並行処理パターンにおける量子操作へのアクセスの順序に応じて、半定値計画法（SDP）を用いて最適成功確率を特徴付けること。

提案手法

• 半定値計画法（SDP）を用いて、同値性決定タスクを最小誤差識別問題に定式化し、最適成功確率を計算する。
• ブラックボックスの使用の間で任意の量子操作を許容する一般の量子回路としてプロトコルをモデル化し、適応的戦略を可能にする。
• SU(2)の表現論を用いてヒルベルト空間を多重度部分空間に分解し、SDP制約のブロック対角化を可能にする。
• 4つの異なる並行処理パターンに対応するSDP定式化を導出する。各パターンは、候補およびターゲットブラックボックスへのアクセス順序の違いに対応する。
• 既約表現を用いた対称性制約を課すことにより、最適化問題の次元を低減する。
• SDP解を数値的に評価し、一般プロトコルが並列化された手法を上回る性能を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の適応的プロトコルは、ユニタリ同値性決定において並列化された手法を上回る性能を示すか。その差はどの程度か？
• RQ2 どのような条件下で並列化されたプロトコルが、一般の適応的プロトコルと同等の性能を達成するか？
• RQ3 ユニタリ操作の有限の量子サンプルが、完全な古典的記述が利用可能である場合と同等の成功確率で同値性決定を可能にするか？
• RQ4 候補ユニタリの有限個のサンプルしか入手できない状況で、同値性決定の最適成功確率は何か？
• RQ5 SU(2)表現によるヒルベルト空間の分解構造が、同値性決定タスクの解法にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 数値的SDP解により確認されたように、一般の適応的プロトコルは、ユニタリ同値性決定において並列化された手法を上回る性能を示す。
• 特に（1,1）および（2,1）の構成において、並列化された手法が一般プロトコルと同等の最適成功確率を達成する。
• 有限の量子サンプルであっても、正確な古典的記述が得られないにもかかわらず、完全な古典的記述がある場合と同等の性能で同値性決定が可能である。
• 特定の構成について、2キュービットユニタリ同値性決定の最適成功確率が解析的に導出され、並列化と一般手法の両方で一致する結果が得られた。
• SDP定式化により、最適戦略が並行処理パターンに強く依存することが明らかになった。ブラックボックスへのアクセス順序の違いに応じて、異なる制約が生じる。
• SU(2)表現論の使用により、SDPの効率的なブロック対角化が可能となり、同値性タスクの数値的および解析的分析が可能になった。