[論文レビュー] Equivalence groupoid of a class of general Burgers-Korteweg-de Vries equations with space-dependent coefficients

Stanislav Opanasenko|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、空間依存係数を有する一般化されたバーガー–コルトエーゲルト＝デ・ブリュイ＝方程式の族に対して、許容可能な変換および同値群を分類する。減少した方程式族が4次元の通常同値群を有することを示し、最大非自明な条件付き同値群を有するいくつかの部分族を特定し、一般化された意味での正規化の新しい例を同定する。

ABSTRACT

We describe the equivalence groupoid of the class of general Burgers - Korteweg - de Vries equations with space-dependent coefficients. This class is shown to reduce by a family of equivalence transformations to a subclass whose usual equivalence group is four-dimensional. Classified are admissible transformations of this subclass and singled out are its subclasses admitting maximal nontrivial conditional equivalence groups. All of them turn out to have dimension higher than four. In particular, a few new examples of nontrivial cases of normalization in the generalized sense of classes of differential equations appeared this way.

研究の動機と目的

• 空間依存係数を有する一般バーガー–コルトエーゲルト＝デ・ブリュイ＝方程式族の同値群族の構造を分析すること。
• 元の族を、4次元の通常同値群を有する正規化された部分族に還元すること。
• 許容可能な変換を分類し、最大非自明な条件付き同値群を有する部分族を特定すること。
• 微分方程式族に対して、一般化された意味での正規化の新しい例を発見すること。
• 通常同値群および正規化された部分族の一般化同値群を用いて、同値群族の構造を確立すること。

提案手法

• 論文は、元の族を $ C=1 $ および $ A^1=0 $ を満たす部分族 $ \tilde{\rho} $ に還元し、これが4次元の通常同値群を有することを示す。
• 還元された族 $ \tilde{\rho} $ 内の許容可能な変換を分類し、対称性構造が強化された特定の部分族を同定する。
• 点変換および同値変換を用いて条件付き同値群を同定するが、特に一般化同値群および有効一般化同値群に注目する。
• 方程式族 $ \tilde{\rho} $ から正規化された部分族（累乗、対数、指数、有理関数構造を有する係数を含む）への同値変換の明示的形を構成する。
• 有効一般化同値群の概念を用いて、正規化された部分族に対して最大非自明な条件付き同値部分群を同定する。
• 還元された族の同値群族は、その通常同値群および同定された正規化された部分族の同値群によって生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間依存係数を有する一般化されたバーガー–コルトエーゲルト＝デ・ブリュイ＝方程式族の同値群族の構造は何か？
• RQ2 還元された方程式族のどの部分族が最大非自明な条件付き同値群を有するか？
• RQ3 この方程式族の内部で、一般化された意味での正規化の新しい例を発見できるか？
• RQ4 同値変換は、還元された族の式を、対称性が強化された部分族へどのように写像するか？
• RQ5 通常同値群は、還元された族の完全な同値群族を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 還元された一般化されたバーガー–コルトエーゲルト＝デ・ブリュイ＝方程式族 $ \tilde{\rho} $ の通常同値群は4次元である。
• 族 $ \tilde{\rho} $ の同値群族は、その通常同値群および7つの正規化された部分族の同値群によって生成される：$ \tilde{\rho}_{\text{I},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{I},01} $, $ \tilde{\rho}_{\text{I},00} $, $ \tilde{\rho}_{\text{II},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{III}} $, $ \tilde{\rho}_{\text{IV},1} $, $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r>2} $, および $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r=2} $。
• すべての部分族が $ \tilde{\rho}_{\text{II},0} $ を除き、一般化された意味で正規化されており、それらの有効一般化同値群が最大の条件付き同値群として機能する。
• $ \tilde{\rho}_{\text{II},0} $ は通常の意味で正規化されており、その通常同値群は4次元である。
• 上記の部分族に含まれないすべての式の和集合として定義される補完族 $ \tilde{\rho}_0 $ は、通常の意味で正規化されており、明示的に記述された同値群を有する。
• 方程式 $ \tilde{\rho}_{\text{IV},00}^{r=2} $ から $ \tilde{\rho}_{\text{IV},0}^{r=2} $ への明示的な点変換が導出され、関数 $ P^1, P^2, R^1, R^2 $ および $ c_4\neq 0 $, $ \rho \neq 0 $, および $ P^2_{\bar{t}} > 0 $ を満たすパラメータを含む。