[論文レビュー] Equivalence of Cauchy-Riemann manifolds and multisummability theory

Ilya Kossovskiy, Bernhard Lamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、力学系からのマルチサマブルリティ理論を応用することで、C² 内の実解析的かつレヴィ非平坦な超曲面について、形式的 CR 同値と滑らかな CR 同値の同値性を確立した。形式的 biholomorphic 写像が収束することを証明し、N. ミル（2016）の長年の予想を解決した。その予想とは、C² 内の実代数的かつレヴィ非平坦な超曲面間のすべての形式的同値が代数的かつ収束的であるというものである。

ABSTRACT

We prove that if two real-analytic hypersurfaces in $\mathbb C^2$ are equivalent formally, then they are also $C^\infty$ CR-equivalent at the respective point. As a corollary, we prove that all formal equivalences between real-algebraic Levi-nonflat hypersurfaces in $\mathbb C^2$ are algebraic (in particular are convergent). The result is obtained by using the recent {\em CR - DS technique}, connecting degenerate CR-manifolds and Dynamical Systems, and employing subsequently the {\em multisummability theory} of divergent power series used in the Dynamical Systems theory.

研究の動機と目的

• C² 内の実代数的かつレヴィ非平坦な超曲面間の形式的 biholomorphic 写像が収束することを示す、N. ミル（2016）の予想を解決すること。
• C² 内の実解析的超曲面について、形式的 CR 同値と C∞ 滑らかな CR 同値の同値性を確立すること。
• 力学系からのマルチサマブルリティ技術を用いて、形式的 biholomorphism の幾何的実現を提供すること。
• パrameter 空間における blow-up 方法を用いて、非 k-非退化かつ非最小超曲面への k-非退化性および純次数の理論を拡張すること。
• このような超曲面間の形式的写像が、サマブルリティと収束性を保証する ODE の系を満たすことを証明すること。

提案手法

• C² 内の実解析的超曲面間の CR 写像から生じる形式的べき級数に、マルチサマブルリティ理論を適用する。
• セグレ多様体とそのパラメータ族を用いて、非最小超曲面の幾何をモデル化する。
• セグレ多様体のパラメータ空間におけるブローアップ変換を導入し、ODE 分析に適した形にシステムを変換する。
• 変換されたセグレ族から、k-非退化の場合と類似した常微分方程式（ODE）の系を導出する。
• 特定のジェット次数制約を満たす CR 写像 (F, G) の因数分解性を活用し、一般の場合を k-非退化設定に還元する。
• biholomorphic 座標変換の下での純次数の不変性を活用し、定義式を正規化し、ODE システムにおける非退化性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C² 内の実解析的かつレヴィ非平坦な超曲面間のすべての形式的 CR 同値は収束的か？
• RQ2 C² 内の実代数的かつレヴィ非平坦な超曲面間の形式的 biholomorphic 写像は、滑らかな CR 微同相写像のテイラー級数として実現可能か？
• RQ3 力学系からのマルチサマブルリティ理論は、非 k-非退化かつ非最小の場合における形式的 CR 写像の幾何的実現を提供できるか？
• RQ4 非最小超曲面の純次数が、関連する ODE システムの構造にどのように影響するか？
• RQ5 非最小超曲面のセグレ族をブローアップによって変換することで、サマブルな解を有する ODE システムが得られるか？

主な発見

• C² 内の実解析的かつレヴィ非平坦な超曲面間のすべての形式的 CR 同値は、C∞ 滑らかな CR 微同相写像によって実現可能であり、N. ミル（2016）の予想が証明された。
• C² 内の実代数的かつレヴィ非平坦な超曲面間のすべての形式的同値は、主定理の結果として代数的かつ収束的である。
• 原点における非最小超曲面の純次数 p は、形式的写像 (F, G) における Gz の零点の位数を決定する。具体的には Gz = O(wp+1) である。
• セグレ多様体のパラメータ空間における適切なブローアップの後、変換された族は、k-非退化の場合と構造が同一の ODE システムを満たし、m が p+1 に置き換えられる。
• 形式的写像 (F, G) は、Fz(0,0) ≠ 0 かつ Gw(0,0) ≠ 0 を満たす因数分解 (F, G) = (F, G) を持ち、Gz = O(wp+1) である。これにより、k-非退化の場合に還元可能である。
• セグレ族から導かれた ODE システムは、形式的べき級数のマルチサマブルリティ（したがって収束性）を保証し、滑らかな実現の証明を完成させる。