[論文レビュー] Equivalence of critical and subcritical sharp Trudinger-Moser-Adams inequalities

Nguyen Lam, Guozhen Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間における臨界定数および亜臨界定数の鋭利なTrudinger-Moser-Adams不等式の等価性を確立し、両者の最良定数および上限の漸近的挙動が同一であることを証明している。著者らはスケーリングの議論と対称化技術を用いて、一方のタイプの結果を他方へ移すことができることを示し、ソボレフ空間におけるこれらの不等式を統一的に扱う枠組みを提供している。

ABSTRACT

Sharp Trudinger-Moser inequalities on the first order Sobolev spaces and their analogous Adams inequalities on high order Sobolev spaces play an important role in geometric analysis, partial differential equations and other branches of modern mathematics. Such geometric inequalities have been studied extensively by many authors in recent years and there is a vast literature. There are two types of such optimal inequalities: critical and subcritical sharp inequalities, both are with best constants. Critical sharp inequalities are under the restriction of the full Sobolev norms for the functions under consideration, while the subcritical inequalities are under the restriction of the partial Sobolev norms for the functions under consideration. There are subtle differences between these two type of inequalities. Surprisingly, we prove in this paper that these critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities are actually equivalent. Moreover, we also establish the asymptotic behavior of the supremum for the subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities on the entire Euclidean spaces (Theorem 1.1 and Theorem 1.3) and provide a precise relationship between the supremums for the critical and subcritical Trudinger-Moser and Adams inequalities (Theorem 1.2 and Theorem 1.4).

研究の動機と目的

• 臨界定数および亜臨界定数の鋭利なTrudinger-Moser-Adams不等式が最良定数および極値的挙動の観点で等価であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 全ユークリッド空間上における亜臨界定数Trudinger-MoserおよびAdams不等式の上限の漸近的挙動を確立すること。
• 臨界定数および亜臨界定数不等式の上限の間の明確な定量的関係を提供し、両者の設定間での結果の移譲を可能にすること。
• 臨界定数不等式を亜臨界定数不等式を用いて証明できる、あるいは逆にその逆も成り立つような、新たな方法論的枠組みを構築すること。
• 高階ソボレフノルムおよび指数型オルリッチノルムを含む埋め込み定理における極値関数および最良定数の理解を拡張すること。

提案手法

• 一般関数を等価な$L^p$ノルムおよび勾配ノルムを持つ回転対称関数に還元するために、特にシュバルツ再配分を用いた対称化および再配分技術の使用。
• 再配分下での勾配の$L^N$ノルムを制御するためのポーリャ＝ツェゴの不等式の適用により、全ソボレフノルムの制約を保持する。
• 勾配ノルムを1に正規化し、亜臨界定数から臨界定数の状況へ関連付けるために、スケーリング変換$v(x) = u(\theta^{-1}x)/\theta$の使用。
• 重み付きTrudinger-Moser型積分$|x|^{-\beta}$を解析する上で不可欠な、関数$GATA(\alpha, \beta)$の導入。これはアダムズ型不等式の取り扱いに重要である。
• レイヤーケ잌表示およびヤング関数の分解を用いて、$\phi_N(t) = e^t - \sum_{j=0}^{N-2} \frac{t^j}{j!}$という指数型積分を分析し、これはオルリッチ空間ノルムを定義する。
• 同次性および$\mathbb{R}^N$におけるスケーリング不変性を活用して、既知の最良定数$\beta_0(N,\gamma)$との比較により一様なバウンディングを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界定数および亜臨界定数の鋭利なTrudinger-Moser-Adams不等式における最良定数は同一か？
• RQ2 指数が臨界閾値に近づく際の、亜臨界定数Trudinger-MoserおよびAdams不等式の上限の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 臨界定数の場合の極値関数の存在が、亜臨界定数の場合の結果を導くのに利用可能か、逆にその逆も成り立つか？
• RQ4 臨界定数および亜臨界定数不等式の上限値の間の定量的関係は何か？
• RQ5 高階ソボレフ空間$W^{\gamma,p}(\mathbb{R}^N)$において、臨界定数および亜臨界定数不等式の等価性は成立するか？

主な発見

• 臨界定数および亜臨界定数の鋭利なTrudinger-Moser-Adams不等式は、最良定数および上限の漸近的挙動が同一であるという意味で等価である。
• $\mathbb{R}^N$上での亜臨界定数Trudinger-Moser不等式の上限は、$\alpha \uparrow \alpha_N$に伴い臨界定数の上限に収束し、その収束速度はパrameters $a, b$, および $N$ によって明確に定まる。
• $W^{\gamma, N/\gamma}(\mathbb{R}^N)$上でのアダムス不等式に関して、重み付き積分$\int_{\mathbb{R}^N} \frac{\phi_{N,\gamma}(\beta_0(N,\gamma)(1-\beta/N)|u|^{p/(p-1)})}{|x|^\beta} dx$の上限は、$N, \beta, a, b$ のみに依存する定数によって一様に有界である。
• 証明では、もし亜臨界定数の上限が$\alpha \to \beta(N,2)$に近づく際に発散すると仮定すれば、臨界定数の場合の有界性と矛盾することを示し、背理法により等価性を証明している。
• この等価性により、結果の移譲が可能となる：ある設定で臨界定数不等式が証明されやすい場合、亜臨界定数不等式の結果も従って得られ、逆も同様である。
• この手法により、スケーリングおよび正規化を用いて、臨界定数および亜臨界定数不等式を互いに還元することで、両者の証明に新たなアプローチを提供している。