[論文レビュー] Equivalence of Geometric and Combinatorial Dehn Functions

José Burillo, Jennifer Taback|ArXiv.org|Mar 13, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、単連結なリーマン多様体の幾何的デーン関数と、それらの上にproper discontinuous, cocompact, isometric な作用を施す有限生成群の組み合わせ的デーン関数との同値性を確立する。測度論的中心選択に基づく幾何的「プッシュング補題」を用いて、多様体内のリプシッツ鎖が体積成長を制御された三角形分割スケルトンに射影可能であることを証明し、多様体内の最小充填面積と、ヴァン・コンペン図の2セルの最小数との関連を確立する。

ABSTRACT

We prove that if a finitely presented group acts properly discontinuously, cocompactly and by isometries on a simply connected Riemannian manifold, then the Dehn function of the group and the corresponding filling function of the manifold are equivalent, in a sense described below.

研究の動機と目的

• 単連結なリーマン多様体の幾何的デーン関数と、それらの上に作用する有限生成群の組み合わせ的デーン関数との同値性を厳密に確立すること。
• 幾何群論において長年にわたり暗黙の前提とされてきた、このような群作用の下で二つのデーン関数が同値であるという仮定を解消すること。
• 特に、新規の「変形定理」のバージョンを含む、幾何測度論的手法を用いた完全で詳細な証明を提供すること。
• 群のデーン関数と多様体の充填関数が、三角形分割を通じて準等長的制御のもとで同値であることを示すこと。
• 多様体内のリプシッツ鎖と、群に不変な三角形分割への単体的射影との関係を形式化し、面積および長さの境界が保たれることを保証すること。

提案手法

• リーマン多様体内のリプシッツk鎖を、G不変三角形分割のkスケルトン内の鎖に、体積成長を制御できるように射影するプッシュング補題を導入する。
• 体積の任意の増大を防ぐために、鎖から十分に離れた射影中心を選択するための測度論的議論を用いる。
• ループおよび円板に対してプッシュング補題を適用し、多様体内のそれらの幾何的面積と、三角形分割された2複体上のヴァン・コンペン図における2セルの数とを関連付ける。
• 2次元円板から三角形分割の2スケルトンへの単体的写像を構成し、境界ループを保存するとともに、2単体の数を幾何的面積の定数倍以内に抑える。
• この単体的写像を、2セルの数を最小化することでヴァン・コンペン図に変換し、組み合わせ的に最小でかつ同じ面積境界を満たすように保証する。
• デーン関数の準等長不変性を用いて、群のデーン関数と三角形分割された2複体のデーン関数とを等置し、同値性の証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結なリーマン多様体の幾何的デーン関数と、それらの上に作用する有限生成群の組み合わせ的デーン関数とが同値となる条件は何か？
• RQ2 （幾何測度論における変形定理に類似した）幾何的射影技術を用いて、リプシッツ鎖を三角形分割スケルトンに射影する際の体積成長を制御できるか？
• RQ3 群作用の条件下で、ヴァン・コンペン図における2セルの数を、多様体内の充填円板の面積によって一様に有界化することは可能か？
• RQ4 境界を保存する射影（すなわち、∂T = ∂R）の性質をどのように活用すれば、元のループとその射影像との間のホモトピーが正当化されるか？
• RQ5 G不変三角形分割の存在が、群のケイリー複体と多様体の幾何との間の準等長的比較をどの程度可能にするか？

主な発見

• 群作用の条件下で、多様体の幾何的デーン関数δ_Mと、三角形分割された2複体の組み合わせ的デーン関数δ_τ^(2)は同値である。
• プッシュング補題により、境界がτ^(k-1)にある任意のリプシッツk鎖Tに対して、τ^(k)内の射影k鎖RとTへのホモトピーSが存在し、vol_k(R) ≤ C·vol_k(T)およびvol_{k+1}(S) ≤ C·vol_k(T)を満たす。ここでCはMとτにのみ依存する定数である。
• 長さl(γ) ≤ nのループγのヴァン・コンペン図における2単体の数は、M内でのγの幾何的面積の定数倍で有界である。
• 群Gのデーン関数δ_Gはδ_τ^(2)と同値であり、δ_τ^(2) ≡ δ_Mであるから、δ_G ≡ δ_Mである。
• 証明により、多様体内の最小面積充填円板と、群の提示複体内の最小面積ヴァン・コンペン図との間の構成的関係が確立された。
• この結果は、幾何群論において広く仮定されてきた同値性を確認し、厳密に証明し、幾何的および組み合わせ的等周的関数を結びつける基盤的ツールを提供する。