[論文レビュー] Equivalence of inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with finite measurements and its applications

Hyeonbae Kang, Graeme W. Milton+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限の境界測定値のもとで2次元線形弾性と薄板のたわみの逆問題の間の厳密な数学的同等性を確立する。境界データ（弾性では変位と応力、板ではたわみとモーメント）の間の明示的かつ可逆な関係を証明することで、一方の系の逆問題を解くことは、他方の対応する問題を解くことに等しいことを示し、体積分率の上限や不純物のサイズ推定といった結果を、異方的かつ空間的に変化する材料に対しても、両者の枠組み間で移転可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the inverse problems for 2D elasticity and for the thin plate with boundary data (finite or full measurements) are equivalent. Having proved this equivalence, we can solve inverse problems for the plate equation with boundary data by solving the corresponding inverse problems for 2D elasticity, and vice versa. For example, we can derive bounds on the volume fraction of the two-phase thin plate from the knowledge of one pair of boundary measurements using the known result for 2D elasticity \cite{ml}. Similarly, we give another approach to the size estimate problem for the thin plate studied by Morassi, Rosset, and Vessella \cite{mrv07, mrv09}.

研究の動機と目的

• 2次元線形弾性と有限境界測定値を伴う薄板のたわみの逆境界値問題の間の明確な数学的同等性を確立すること。
• 2次元弾性（変位と応力）と板（たわみ、法線微分、曲げ・ねじりモーメント）の境界データの間の明示的かつ可逆な関係を導出すること。
• 体積分率推定や不純物サイズ検出といった逆問題が、両モデル間で同等であることを示し、既知の結果の移転を可能にすること。
• 特に、サイズ推定や材料体積分率の境界に関する既存の逆問題フレームワークを、確立された同等性を通じて薄板に応用可能にする。
• 異方的かつ不均質な媒質における逆問題の解法の理論的基盤を、他方の系の結果を活用することで提供すること。

提案手法

• 2次元弾性の境界における変位場と応力ベクトルを、薄板の境界におけるたわみ、法線微分、曲げ・ねじりモーメントへ写像する明示的公式を導出する。
• 単連結領域において2次元弾性方程式と薄板方程式の既知の同等性に依拠し、フックの法則とキルホッフ＝ラウエ板理論を用いる。
• 導出された境界データの対応関係のもとで、2次元弾性のディリクレ・トゥ・ノイマン写像が板方程式のノイマン・トゥ・ディリクレ写像に対応し、逆もまた成り立つことを確立する。
• 同等性を応用し、MiltonとNguyen（2012）が2次元弾性に対して得た体積分率の境界を、薄板モデルへ移転する。
• 同等性を用いて、2次元弾性の逆問題解法を基に、薄板における不純物のサイズ推定結果を再導出する（Alessandrini, Morassi, Rosset, 2008）。
• 板の弾性テンソルを基礎となる弾性モデルの適合率テンソルで表現することで、異方的・不均質媒質への適用を拡張し、両系で同等の条件下で3球不等式の二分法的条件が成立することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限境界測定値を伴う薄板方程式の逆問題は、2次元線形弾性の同等な逆問題に還元可能か？
• RQ2 2次元弾性（変位と応力）の境界データと薄板（たわみ、法線微分、曲げ・ねじりモーメント）の境界データとの間には、どのような明示的数学的関係が存在するか？
• RQ3 両系において異方的かつ空間的に変化する材料特性を有する場合、2つの逆問題の同等性は成立するか？
• RQ4 2次元弾性における体積分率推定に関する既知の結果を、この同等性を介して薄板モデルに直接適用可能か？
• RQ5 特に3球不等式フレームワークのもとで、薄板における不純物のサイズ推定結果は、2次元弾性の同等結果を用いて再導出可能か？

主な発見

• 有限境界測定値を伴う薄板方程式の逆問題は、有限境界測定値を伴う2次元線形弾性の逆問題と数学的に同等である。
• 境界データの間の明示的かつ可逆な関係が確立された：2次元弾性の変位と応力は、薄板のたわみ、法線微分、およびモーメントを決定し、逆もまた成り立つ。
• 2相薄板の体積分率の境界は、本稿で確立された同等性を介して、MiltonとNguyen（2012）が2次元弾性に対して得た既知の結果から導出可能である。
• 薄板における不純物のサイズ推定問題（Morassi, Rosset, Vessellaが研究）は、2次元弾性における同様の問題と同等であり、これはAlessandrini, Morassi, Rosset（2008）が解いたもので、2009年に是正された。
• 異方的・不均質媒質では、3分法的条件が満たされる限り、1つの境界測定値から2次元弾性における未知の不純物のサイズを推定可能であり、対応する板モデルでも同等の条件が成立する。
• [9]でサイズ推定の根拠となっている薄板方程式の3球不等式は、導出されたデータ対応のもとで2次元弾性の3球不等式と同等であり、太さ仮定の有効性とそれに続く定量的推定の有効性が保たれる。