[論文レビュー] Equivalence of local-and global-best approximations, a simple stable local commuting projector, and optimal $hp$ approximation estimates in $H(\mathrm{div})$

Alexandre Ern, Thirupathi Gudi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Raviart–Thomas–Nédélec有限要素における$$\bm{H}(operatorname{div})$内での局所的およびグローバルな最良近似の等価性を確立し、グローバルな誤差境界が、メッシュおよび多項式次数に依存しない定数を除いて、局所誤差の和に等価であることを証明する。また、最小正則性関数に対しても最良の$hp$近似推定を達成できる、安定で局所的かつ可換な射影子を導入する。

ABSTRACT

Given an arbitrary function in H(div), we show that the error attained by the global-best approximation by H(div)-conforming piecewise polynomial Raviart-Thomas-Nédélec elements under additional constraints on the divergence and normal flux on the boundary, is, up to a generic constant, equivalent to the sum of independent local-best approximation errors over individual mesh elements, without constraints on the divergence or normal fluxes. The generic constant only depends on the shape-regularity of the underlying simplicial mesh, the space dimension, and the polynomial degree of the approximations. The analysis also gives rise to a stable, local, commuting projector in H(div), delivering an approximation error that is equivalent to the local-best approximation. We next present a variant of the equivalence result, where robustness of the constant with respect to the polynomial degree is attained for unbalanced approximations. These two results together further enable us to derive rates of convergence of global-best approximations that are fully optimal in both the mesh size h and the polynomial degree p, for vector fields that only feature elementwise the minimal necessary Sobolev regularity. We finally show how to apply our findings to derive optimal a priori hp-error estimates for mixed and least-squares finite element methods applied to a model diffusion problem.

研究の動機と目的

• 最小正則性仮定の下で、$\bm{H}(\operatorname{div})$におけるグローバル最良近似と局所最良近似の等価性を確立すること。
• 最良の近似特性を保ちながら、$\bm{H}(\operatorname{div})$で安定で局所的かつ可換な射影子を構成すること。
• $\bm{H}(\operatorname{div})$において、要素ごとに最小のソボレフ正則性を有する関数に対して、完全に最適な$hp$近似推定を導出すること。
• 多項式次数$p$の変動に対してもロバストであるように、非対称近似へと解析を拡張すること。
• 得られた結果を応用し、モデル拡散問題に対する混合および最小二乗有限要素法の最良の事前$hp$誤差推定を導出すること。

提案手法

• 境界上の発散および法線成分のフラックスを制約することで、$\bm{H}(\operatorname{div})$におけるグローバル最良近似と局所最良近似の等価性を証明し、誤差の等価性が形状正則性、次元、多項式次数にのみ依存する定数の範囲内で成り立つことを示す。
• 各要素における制約付き最小化を活用して、局所的で安定かつ可換な射影子を構成し、発散作用素と可換であり、発散の$\bm{L}^2$ノルムを保つようにする。
• コストァベルとマクイントッシュの研究に基づく単体上の$p$-ロバストな局所近似の等価性結果を用い、局所的に発散制約を除去しても最適性を損なわないようにする。
• 形状正則性および最小正則性の下で、グローバル近似の誤差が局所誤差の和で抑えられ、$h$および$p$に依存しない定数を伴うことを確立する。
• 局所的等価性と射影子の安定性および近似性質を組み合わせることで、最適な$hp$誤差推定を導出する。
• このフレームワークを混合および最小二乗有限要素法に適用し、得られる誤差境界が$h$および$p$の両方において完全に最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル最良近似誤差は、$h$および$p$に依存しない定数を除いて、局所最良近似誤差の和に等価であるか？
• RQ2 最良の$hp$近似特性を達成できる、安定で局所的かつ可換な射影子を$\bm{H}(\operatorname{div})$に構成できるか？
• RQ3 多項式次数$p$が変化する場合、特に非対称近似設定下でも、局所的およびグローバルな最良近似の等価性はロバストか？
• RQ4 最小正則性仮定下で、混合および最小二乗有限要素法の最適な$hp$誤差推定を導出できるか？
• RQ5 グローバル近似における発散および法線フラックスの制約の役割は何か？また、これらを局所的に除去しても、グローバル誤差境界に影響を与えないか？

主な発見

• グローバル最良近似誤差は、メッシュの形状正則性、空間次元、多項式次数にのみ依存する定数を除いて、局所最良近似誤差の和に等価である。
• 最良の局所近似誤差に相当する近似誤差を達成する安定で局所的かつ可換な射影子が構成され、最適な$hp$推定が可能になる。
• 等価性結果は非対称近似へと拡張され、定数の$p$-ロバスト性が保証され、高次法において特に重要である。
• 最小$H(\operatorname{div})$正則性を有する関数に対し、$h$および$p$の両方において完全に最適な$hp$近似推定が導出された。
• フレームワークにより、モデル拡散問題に適用した混合および最小二乗有限要素法に対して、完全に最適な事前$hp$誤差推定が得られた。
• 解析により、発散の$\bm{L}^2$ノルムおよびベクトル場の$\bm{L}^2$ノルムが、形状正則性パラメータを用いて明示的に制御可能であることが確認された。