[論文レビュー] Equivalence of Q-Conditional Symmetries under Group of Local Transformation

Roman O. Popovych|ArXiv.org|Aug 2, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、局所変換の下でのQ-条件的対称性の同値性の概念を導入し、偏微分方程式系におけるこのような対称性の体系的分類を可能にする。この枠組みを用いて、n次元線形熱方程式（n ≥ 2）および非圧縮性理想流体のEuler方程式について、すべての単一Q-条件的対称性作用素を分類する。その結果、非Lie型のQ-条件的対称性は特定の形に限られ、Navier-Stokes方程式では、すべてのQ-条件的対称性がLie対称性に同値であることが示された。

ABSTRACT

The definition of Q-conditional symmetry for one PDE is correctly generalized to a special case of systems of PDEs and involutive families of operators. The notion of equivalence of Q-conditional symmetries under a group of local transformation is introduced. Using this notion, all possible single Q-conditional symmetry operators are classified for the n-dimensional (n >= 2) linear heat equation and for the Euler equations describing the motion of an incompressible ideal fluid.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式系および自己随伴作用素族へのQ-条件的対称性の定義を一般化すること。
• 局所変換の下でのQ-条件的対称性の同値性の概念を導入し、分類を簡略化すること。
• n次元線形熱方程式（n ≥ 2）のすべての可能な単一Q-条件的対称性作用素を分類すること。
• 非圧縮性理想流体のEuler方程式のすべての可能な単一Q-条件的対称性作用素を分類すること。
• 結果をNavier-Stokes方程式と比較し、すべてのQ-条件的対称性がLie対称性に同値であることを示すこと。

提案手法

• 単一偏微分方程式から偏微分方程式系および微分作用素族へのQ-条件的対称性の定義を一般化する。
• 局所変換の下でのQ-条件的対称性の同値性を導入し、非自明なヤコビアン行列式を持つ作用素族の可逆変換によって定義する。
• Frobeniusの定理を用いて、Q作用素によって定義される不変系の整合性を保証する。
• Q作用素をr次までのジェット空間へ拡張するための延長技法を適用し、系L=0の不変性を検証する。
• Q^{s}_{(r)}L|_{{\cal M}\cap{\cal L}} = 0 をQ-条件的不変性の基準とする。
• Q作用素に基づくアンサーツを構成し、元の偏微分方程式系に代入することで対称性の還元を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q-条件的対称性を偏微分方程式系および自己随伴作用素族に一般化する正しい定義は何か？
• RQ2 局所変換の下でのQ-条件的対称性の同値性はどのように定義され、分類の簡略化にどのように利用できるか？
• RQ3 n次元線形熱方程式（n ≥ 2）のすべての可能な単一Q-条件的対称性作用素は何か？
• RQ4 非圧縮性理想流体のEuler方程式のすべての可能な単一Q-条件的対称性作用素は何か？
• RQ5 Navier-Stokes方程式には非Lie型のQ-条件的対称性は存在するか、それともすべての対称性がLie対称性に同値であるか？

主な発見

• n次元線形熱方程式（n ≥ 2）について、すべての可能な単一Q-条件的対称性作用素が分類され、関数φ(θ)の形に応じて4つの同値でない類に分類される。
• 非圧縮性理想流体のEuler方程式について、任意のQ-条件的対称性作用素は、Lie対称性に同値であるか、最大のLie不変性代数の意味で作用素 ∂₃ + ζ(t,x₃,u³)∂ᵤ³ + χ(t)x₃∂ₚ に同値であり、ζおよびχに特定の制約が課される。
• 非Lie型のQ-条件的対称性によるEuler方程式の還元は、u¹ = v¹, u² = v², u³ = x₃v³ + ψ(t,v³), p = q + ½χ(t)x₃² の形のアンサーツを与える。ここでψは1階偏微分方程式を満たす。
• Euler方程式の還元系は3つの方程式からなる：vⁱₜ + vʲvⁱⱼ + qᵢ = 0, v³ₜ + vʲv³ⱼ + (v³)² + χ = 0, および vʲⱼ + v³ = 0。
• Navier-Stokes方程式について、すべての実数Q-条件的対称性作用素はLie対称性作用素に同値であり、すべての還元がLie型であり、非Lie型の新たな還元は存在しないことを示唆する。
• Navier-Stokes方程式の結果は、非Lie型のQ-条件的対称性がLie代数を越えて拡張されないことを確認しており、Euler方程式とは対照的である。