[論文レビュー] Equivalence of the Brownian and energy representations

Sergio Albeverio, Bruce K. Driver+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

advanced mathematical theories被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリー群における滑らかな経路の群のブラウン運動表現とエネルギー表現のユニタリ同値性を確立する。確率解析とフーリエ＝ウィーナー変換を用いて、ウィーナー測度を伴うウィーナー空間上とガウス測度を伴う経路空間上に定義された両表現が、相互にユニタリ同値であることを証明し、これら表現における定数関数 1 の循環性に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We consider two unitary representations of the infinite-dimensional groups of smooth paths with values in a compact Lie group. The first representation is induced by quasi-invariance of the Wiener measure, and the second representation is the energy representation. We define these representations and their basic properties, and then we prove that these representations are unitarily equivalent.

研究の動機と目的

• ウィーナー測度の擬不変性によって誘導されるブラウン運動表現と、経路空間上のエネルギー表現のユニタリ同値性を確立すること。
• 定数関数 1 がブラウン運動表現およびエネルギー表現において循環的ベクトルであるかどうかという問題を解決すること。
• リー群値経路におけるストラトニビッチ積分と伊藤積分を用いた、エネルギー表現の厳密な構成を提供すること。
• エネルギー表現が、逆伊藤写像とフーリエ＝ウィーナー変換を介して、左および右のブラウン運動表現とユニタリ同値であることを示すこと。
• 無限次元経路群のユニタリ表現を扱う二つの異なるアプローチ（確率過程とエネルギーに基づく構成）を統合すること。

提案手法

• ブラウン運動表現は、コンパクトなリー群 $ G $ の連続経路の空間 $ W(G) $ 上のウィーナー測度 $ \mu $ を用いて $ L^2(W(G), \mu) $ 上に構成され、$ H(G) $、つまり $ G $ の滑らかな経路の群における左および右乗法による擬不変性を用いる。
• エネルギー表現は、$ G $ のリー代数 $ \mathfrak{g} $ と、$ W(\mathfrak{g}) $ 上の標準ガウス測度 $ \nu $ を用いて $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上に定義され、随伴作用と確率積分を用いる。
• 主な技術的道具は、ブラウン運動表現を $ W(\mathfrak{g}) $ 上の形に変換する逆伊藤写像 $ B^L $ であり、これによりエネルギー表現との比較が可能になる。
• フーリエ＝ウィーナー変換 $ \mathcal{F} $ は、変換されたブラウン運動表現とエネルギー表現を結ぶ相互作用作用素として用いられる。
• 証明は、確定的被積分関数に対して伊藤積分とストラトニビッチ積分が一致することに依拠しており、確率積分の枠組みにおける一貫性を保証する。
• ユニタリ同値性は、$ W(G) $ 上の右乗法によって誘導される表現 $ u^{R}_{\varphi} $ が、合成 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ を介してエネルギー表現 $ E_{\varphi} $ とユニタリ同値であることを示すことによって確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数関数 1 は $ L^2(W(G), \mu) $ 上のブラウン運動表現において循環的ベクトルか？
• RQ2 ウィーナー測度の擬不変性によって誘導されるブラウン運動表現と、$ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上のエネルギー表現はユニタリ同値か？
• RQ3 エネルギー表現は、確率積分の道具を用いてブラウン運動表現のユニタリ変換として実現可能か？
• RQ4 ブラウン運動表現とエネルギー表現の間の正確な相互作用作用素は何か？
• RQ5 逆伊藤写像 $ B^L $ は、ブラウン運動表現空間とエネルギー表現空間の間の標準的同型写像を提供するか？

主な発見

• 定数関数 1 は、第 3 章で示されたように、$ L^2(W(G), \mu) $ 上の左および右のブラウン運動表現において循環的ベクトルである。
• 定理 5.8 で証明されたように、ブラウン運動表現 $ U^R $ とエネルギー表現 $ E $ は、合成 $ \mathcal{F} \circ (B^L)^* $ を介してユニタリ同値である。
• エネルギー表現 $ E_{\varphi} $ は、$ (E_{\varphi}f)(w) = e^{i\int_0^T \langle \varphi^{-1}\varphi'(s), dw_s \rangle} f(O_{\varphi^{-1}}w) $ で与えられ、ここで $ O_{\varphi^{-1}}w = \int_0^\cdot \operatorname{Ad}_{\varphi} dw_s $ であり、これは $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上にユニタリ表現を定義する。
• 逆伊藤写像を経由して得られる $ L^2(W(\mathfrak{g}), \nu) $ 上の表現 $ u^{R}_{\varphi} $ は、エネルギー表現 $ E_{\varphi} $ とユニタリ同値であり、相互作用作用素はフーリエ＝ウィーナー変換 $ \mathcal{F} $ である。
• 証明は、確定的被積分関数に対して伊藤積分とストラトニビッチ積分が一致することに依拠しており、使用される確率積分の枠組みにおける一貫性を保証する。
• 系 5.9 は、ブラウン運動表現における循環性とユニタリ同値性の結果から、定数関数 1 がエネルギー表現においても循環的ベクトルであることを確認する。