[論文レビュー] Equivalence of the logarithmically averaged Chowla and Sarnak conjectures

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Analytic Number Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対数平均化されたチャウラ予想と対数平均化されたサルナック予想の論理的同値性を確立し、両者がリーマン・リウビルの関数の局所的ガウッシャー一様性と同値であることを示している。エントロピー減少の議論とガウッシャーノルムの逆予想を用いて、かつては別個のものと見なされていたこれらの予想が、実際には深く関連していることを証明しており、数論的・力学系における乗法的関数の理解を前進させている。

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture asserts that $$ \sum_{n \leq X} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k) = o_{X o \infty}(X) $$ for any fixed natural numbers $a_1,a_2,\dots,a_k$ and non-negative integer $b_1,b_2,\dots,b_k$ with $a_ib_j-a_jb_i eq 0$ for all $1 \leq i < j \leq k$, and any $X \geq 1$. This conjecture is open for $k \geq 2$. As is well known, this conjecture implies the conjecture of Sarnak that $$ \sum_{n \leq X} λ(n) f(n) = o_{X o \infty}(X)$$ whenever $f : {\bf N} o {\bf C}$ is a fixed deterministic sequence and $X \geq 1$. In this paper, we consider the weaker logarithmically averaged versions of these conjectures, namely that $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) \dots λ(a_k n + b_k)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω) $$ and $$ \sum_{X/ω\leq n \leq X} \frac{λ(n) f(n)}{n} = o_{ω o \infty}(\log ω)$$ under the same hypotheses on $a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_k$ and $f$, and for any $2 \leq ω\leq X$. Our main result is that these latter two conjectures are logically equivalent to each other, as well as to the "local Gowers uniformity" of the Liouville function. The main tools used here are the entropy decrement argument of the author used recently to establish the $k=2$ case of the logarithmically averaged Chowla conjecture, as well as the inverse conjecture for the Gowers norms, obtained by Green, Ziegler, and the author.

研究の動機と目的

• 対数平均化されたチャウラ予想と対数平均化されたサルナック予想の論理的同値性を確立すること。
• 両予想がリーマン・リウビル関数の局所的ガウッシャー一様性と同値であることを示すこと。
• 数論的および力学系の文脈における乗法的関数とその擬似乱数性の理解を強化すること。
• エルゴディック理論と加法的組合せ論の道具を用いて、リーマン・リウビル関数を統合的に分析する枠組みを提供すること。

提案手法

• リーマン・リウビル関数の相関を制御するためにエントロピー減少の議論を用いる。
• ガウッシャーノルムの逆予想を適用して、相関構造に一様性の欠如を示す関数を特徴付ける。
• サルナック予想における決定的系列をネルシーケンス表現でモデル化する。
• 有界な複雑性を持つ決定的系列を、ネルポテンツ群内の多項式系列で近似する。
• ネルポテンツ群の要素における摂動を制御するために、ベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を適用する。
• 有界なサイズの$ε$-ネットを構成することで、有界複雑性のネルシーケンスの集合の均一ゼロエントロピーを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数平均化されたチャウラ予想と対数平均化されたサルナック予想は論理的に同値か？
• RQ2 エントロピー減少の議論を、高階相関を含む予想の同値性を示すために拡張できるか？
• RQ3 リーマン・リウビル関数の局所的ガウッシャー一様性は、両予想と同値か？
• RQ4 サルナック予想における決定的系列は、有界複雑性のネルシーケンスによって一様に近似可能か？
• RQ5 ネルポテンツ群の構造は、乗法的関数の擬似乱数性を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• 条件$a_i, b_i$および$f$の下で、対数平均化されたチャウラ予想と対数平均化されたサルナック予想は論理的に同値である。
• この同値性はすべての$k \geq 1$およびすべての$2 \leq \omega \leq X$に対して成り立ち、誤差項は$o_{\omega \to \infty}(\log \omega)$である。
• 両予想はリーマン・リウビル関数の局所的ガウッシャー一様性と同値であり、関数が高階相関和においてキャンセルを示すことを意味する。
• エントロピー減少の議論は、対数平均化されたチャウラ予想の$k=2$の場合を確立する重要な道具を提供し、主な同値性の基礎をなす。
• ガウッシャーノルムの逆予想により、非一様相関を持つ関数の構造的分解が可能となり、それらがネルシーケンスと関連づけられる。
• 有界複雑性のネルシーケンスの集合は均一ゼロエントロピーを示し、そのメトリックエントロピーは$N$に関して指数的以下に増加する。