[論文レビュー] Equivalence of two different notions of tangent bundle on rectifiable metric measure spaces

Nicola Gigli, Enrico Pasqualetto|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可解な距離測度空間上の2つの接バンドルの概念の等長同型を確立する。すなわち、ソボレフ計算から得られる抽象的接モジュールと、グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの$L^2$-切断からなる空間との間の等長同型である。著者らは、強$τ$-可解な空間—例えば${\sf RCD}^*(K,N)$空間—に対して、点付きグロモフ＝ハウスドルフの吹き方によって、$τ$-ほとんど everywhere でユークリッド接空間が得られることを証明し、その結果得られる可測切断は接モジュールと等長同型となる。これにより、微分可能性の幾何的および解析的アプローチが統合される。

ABSTRACT

We prove that for a suitable class of metric measure spaces, the abstract notion of tangent module as defined by the first author can be isometrically identified with the space of $L^2$-sections of the `Gromov-Hausdorff tangent bundle'. The class of spaces $({ m X},{\sf d},{\mathfrak m})$ we consider are PI spaces that for every $\varepsilon>0$ admit a countable collection of Borel sets $(U_i)$ covering ${\mathfrak m}$-a.e.\ ${ m X}$ and corresponding $(1+\varepsilon)$-biLipschitz maps $φ_i:U_i o{\mathbb R}^{k_i}$ such that $(φ_i)_*{\mathfrak m}\lower3pt\hbox{$|_{U_i}$}\ll\mathcal L^{k_i}$. This class is known to contain ${\sf RCD}^*(K,N)$ spaces. Part of the work we carry out is that to give a meaning to notion of $L^2$-sections of the Gromov-Hausdorff tangent bundle, in particular explaining what it means to have a measurable map assigning to ${\mathfrak m}$-a.e.\ $x\in { m X}$ an element of the pointed-Gromov-Hausdorff limit of the blow-up of ${ m X}$ at $x$.

研究の動機と目的

• 2つの異なる接バンドルの概念の間の厳密な関係を確立すること：ソボレフ計算から得られる抽象的接モジュールと、幾何的グロモフ＝ハウスドルフ接バンドル。
• 強$\mathfrak{m}$-可解空間におけるチャートを用いて、グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルに自然な可測構造を定義すること。
• $\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere な$x \in \rm{X}$に対して、$x$におけるスケーリングされた空間の点付きグロモフ＝ハウスドルフ極限がユークリッド空間となることを示すことにより、接バンドルの幾何的解釈を可能にすること。
• グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの$L^2$-切断の空間が、接モジュール$L^2(T\rm{X})$と等長同型であることを証明すること。
• 任意の等長写像による接空間の特定の曖昧さを解消するため、双リプシッツチャートを用いて自然な可測構造を構成すること。

提案手法

• 可解な距離測度空間における$(1+\varepsilon)$-双リプシッツチャート$\varphi_i: U_i \to \mathbb{R}^{k_i}$の可算族を用いて、グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルに可測バナッハバンドル構造を導入する。
• グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの$L^2$-切断を、$\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere な$x \in \rm{X}$に対して、$x$におけるスケーリングされた空間の点付きグロモフ＝ハウスドルフ極限に属する要素を割り当てる可測写像として定義する。
• $\varepsilon_n$-アトラスがコンパクトな定義域と密度点を持つことの存在を用いて、$r_n \downarrow 0$ となる列を構成し、そのスケーリングされたチャート$\Phi_n(x, \cdot)$がグロモフ＝ハウスドルフの意味で恒等写像に近づくようにする。
• 補題1.2を適用して、点とその射影の間の距離を制御し、スケーリングされたチャート$\Phi_n$が小さな球上で一様に等長写像に収束することを保証する。
• $\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere な$x$に対して、スケーリングされた空間$B_{r_n R}(x)/r_n$が点付きグロモフ＝ハウスドルフの意味で$\mathbb{R}^k$に収束することを証明する。
• ソボレフ関数の微分がグロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの可測切断に正確に対応することを示すことにより、$L^2(T\rm{X})$と$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$の間の等長同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^\infty$-モジュールとソボレフ計算を用いて定義される抽象的接モジュールは、グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの切断として幾何的に実現可能か？
• RQ2 $\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere な点$x$におけるスケーリングされた空間の点付きグロモフ＝ハウスドルフ極限がユークリッド空間となる条件は何か？
• RQ3 任意の等長写像による接空間の特定の曖昧さを回避するため、グロモフ＝ハウスドルフ極限によって得られる接空間のバンドルに自然な可測構造をどのように定義できるか？
• RQ4 グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの$L^2$-切断の空間と接モジュール$L^2(T\rm{X})$との間に自然な等長同型が存在するか？
• RQ5 特異的だが可解な距離測度空間において、弱微分（解析的）と吹き方（幾何的）による微分可能性の概念はどの程度一致するか？

主な発見

• $\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere な$x \in \rm{X}$に対して、$r_n \downarrow 0$ のとき、スケーリングされた空間$B_{r_n R}(x)/r_n$の点付きグロモフ＝ハウスドルフ極限は、$x$における局所次元にのみ依存する$k$に対して、$\mathbb{R}^k$と等長同型である。
• グロモフ＝ハウスドルフ接バンドルの$L^2$-切断の空間、すなわち$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$は、双リプシッツチャートを用いて自然な可測構造を備えて正しく定義されており、well-defined である。
• スケーリングされたチャート$\Phi_n(x, \cdot)$が、十分大きな$n$に対して、$B_{r_n R}(x)$上で一様に、$\big{|}\big{|}\Phi_n(x,y_0) - \Phi_n(x,y_1)\big{|}_{\mathbb{R}^k} - \frac{{\sf d}(y_0,y_1)}{r_n}\big{|} \leq \varepsilon$ を満たすような列$r_n \downarrow 0$ が存在する。
• スケーリングされたチャート$\Phi_n(x, \cdot)$の像は、$B_{R-\varepsilon}(0_{\mathbb{R}^k})$に$\varepsilon$-稠密であるため、極限が全接空間を捉えていることが保証される。
• $L^2(T\rm{X})$と$L^2(T_{\rm{GH}}\rm{X})$の間には等長同型が存在し、その同型写像はソボレフ関数の微分によって与えられる。
• この結果は、強い可解性仮定の下で、両者の微分可能性の概念が$\mathfrak{m}$-ほとんど everywhere で一致することを意味し、ラデマッハの定理を一般化する。