[論文レビュー] Equivalence Relations Which Are Borel Somewhere

William Chan|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ポーランド空間上の解析的または共解析的同値関係が、$Δ_1^1$ 集合に制限された際に、その制限が $Δ_1^1$ 同値関係になるのはいつかを調査する。$̼$-理想に対してその関連する強制法が正しく、かつすべての $z$ に対して $z^\sharp$ が存在するという仮定の下で、著者たちは、このような $Δ_1^1$ 集合 $C$ が存在することを示している。主な貢献は、大基数仮定の下で、すべての同値類が $Δ_1^1$ である $Σ_1^1$ および $Π_1^1$ 同値関係に対して、主たる問いの洗練された版に対する肯定的解答を提供することにある。

ABSTRACT

The following will be shown: Let $I$ be a $σ$-ideal on a Polish space $X$ with the property that the associated forcing of $I^+$ Borel subsets ordered by $\subseteq$ is a proper forcing. Let E be an analytic or coanalytic equivalence relation on this Polish space with all equivalence classes Borel. If sharps of certain sets exist, then there is an $I^+$ Borel subset $C$ of $X$ such that $E \upharpoonright C$ is a Borel equivalence relation.

研究の動機と目的

• ポーランド空間上の解析的または共解析的同値関係が、$Δ_1^1$ 集合に制限された際に、その制限が $Δ_1^1$ 同値関係になる条件を特定すること。
• すべての同値類が $Δ_1^1$ であることを要求することで、可算集合による自明なケースを避けることによって、主たる問いの頑健性を検討すること。
• 関連する強制法 $Π_I$ が正しく、$σ$-理想の強制的枠組みを用いて、絶対性および一般性に関する議論を展開すること。
• すべての $z$ に対して $z^\sharp$ が存在するという仮定の下で、$Δ_1^1$ 集合 $C$ が存在し、$E\upharpoonright C$ が $Δ_1^1$ であることを確立すること。
• 特に、構成可能実数と強制拡大の文脈において、すべての同値類が非可算の細い集合である $Π_1^1$ 同値関係の存在を調査すること。

提案手法

• $I$ を $σ$-理想とするとき、$I^+$ かつ $Δ_1^1$ であるポーランド空間 $X$ の部分集合からなる強制法 $Π_I$ を、包含関係によって順序づける。
• Zapletal の特徴付けを適用し、$Π_I$ が正しくなるのは、任意の可算な $M \prec H_\Theta$ で $\u03a0_I, B \in M$ を満たすものに対して、$M$ 上での $Π_I$-一般的要素の集合が $I^+$ かつ $Δ_1^1$ であるときである。
• 絶対性および一般性を用いて、$E$ の性質を元のモデルから一般拡大へと移し、$E\upharpoonright C$ が $Δ_1^1$ のままであることを保証する。
• ルジン＝ノイコフの均一化定理を用いて、$Δ_1^1$ 集合によって生成される自由アーベル群の要素の表現をコードする $Δ_1^1$ 関数を構成する。
• 構成可能性の下で、実数の $Δ_1^1$ 細い部分群を用いて、$\mathbb{R}$ 上に $Π_1^1$ コセット同値関係を構成する。
• マンズフィールド＝ソロベイの定理を適用し、強制拡大においても細い $Δ_1^1$ 実数集合が変化せず、$L$ においても非可算の細さを保つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポーランド空間 $X$ 上の $σ$-理想 $I$ に対して、関連する強制法 $\u03a0_I$ が正しく、かつすべての同値類が $\u0394_1^1$ である $\u03a3_1^1$ 同値関係 $E$ が与えられたとき、$I^+$ かつ $\u0394_1^1$ の集合 $C$ が存在し、$E\upharpoonright C$ が $\u0394_1^1$ になるか？
• RQ2 強制法 $\u03a0_I$ が正しく、かつすべての同値類が $\u0394_1^1$ である $\u03a0_1^1$ 同値関係 $E$ に対して、$I^+$ かつ $\u0394_1^1$ の集合 $C$ が存在し、$E\upharpoonright C$ が $\u0394_1^1$ になるか？
• RQ3 $L$ において、すべての同値類 $[x]_E$ が非可算の細い集合であるような $\u03a0_1^1$ 同値関係 $E$ が存在するか？
• RQ4 明示的に細い $\u0394_1^1$ 集合を参照しない形で、$\u03a0_1^1$ 同値関係を構成できるか。そのような関係が、$\omega_1^L < \omega_1^V$ であるモデルにおいて、このような $C$ の存在に対する肯定的解答を示すか？
• RQ5 $ {}^\omega\omega $ を、$\u03a0_1^1$ の部分集合に分割できるか。各部分集合が非可算の細い集合であるような $\u03a0_1^1$ 同値関係が $L$ で存在するか？

主な発見

• すべての $z \in H_{(2^{\aleph_0})^+}$ に対して $z^\sharp$ が存在するという仮定の下で、任意の $\u03a3_1^1$ または $\u03a0_1^1$ 同値関係 $E$ に対して、$X$ の部分集合として $Δ_1^1$ 集合 $C \subseteq X$ が存在し、$E\upharpoonright C$ が $Δ_1^1$ であることが保証される。
• 関連する強制法 $\u03a0_I$ が正しく、一般性および絶対性を用いることで、$E\upharpoonright C$ が $Δ_1^1$ の性質を保つことが保証される。
• 実数の $\u03a0_1^1$ 同値関係 $E$ を構成し、各同値類 $[x]_E$ が $L$ 内の $Δ_1^1$ 非可算細い集合と一対一対応する。具体的には、$Δ_1^1$ 細い実数集合によって生成される部分群を用いる。
• 構成された同値関係 $E$ は $\u03a0_1^1$ であり、$L \models \text{for all } x, [x]_E \text{ is uncountable thin}$ を満たし、質問 10.8 に対する肯定的解答を提供する。
• 定理 11.1 の同値関係 $E$ は、質問 10.7 の要件を満たさない。これは、構成的にコードされた細い集合に依存しており、$\omega_1^L < \omega_1^V$ であるモデルでは非可算の細さが保たれないからである。
• 質問 10.7 の解法は、細い $\u0394_1^1$ 集合の明示的使用を避ける必要があることが示された。このような構成は、$\omega_1$ が大きい強制拡大において、望ましい性質を維持できない。