[論文レビュー] Equivalences between Non-trivial Variants of 3LDT and Conv3LDT

Bartłomiej Dudek, Paweł Gawrychowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 56被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3LDT問題の非自明なすべての変種——3つの異なる整数が線形方程式 α₁x₁ + α₂x₂ + α₃x₃ = t を満たす必要がある——と古典的な3SUM問題との間で、強下線的時間削減のもとで、非二次的同値性を確立している。この同値性は、多項式的に有界なドメイン上の畳み込みに基づく変種（Conv3LDT）へと拡張され、すべての非自明な変種が3SUMと同値であることが示された。これは、構造的和自由集合のためのベレンの構成を新規に応用することで、x₁ + x₂ = 2x₃問題の3SUM困難性に関する未解決の問題を解決した。

ABSTRACT

The popular 3SUM conjecture states that there is no strongly subquadratic time algorithm for checking if a given set of integers contains three distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $x_1+x_2=x_3$. A closely related problem is to check if a given set of integers contains distinct elements satisfying $x_1+x_2=2x_3$. This can be reduced to 3SUM in almost-linear time, but surprisingly a reverse reduction establishing 3SUM hardness was not known. We provide such a reduction, thus resolving an open question of Erickson. In fact, we consider a more general problem called 3LDT parameterized by integer parameters $α_1, α_2, α_3$ and $t$. In this problem, we need to check if a given set of integers contains distinct elements $x_1, x_2, x_3$ such that $α_1 x_1+α_2 x_2 +α_3 x_3 = t$. We prove that all non-trivial variants of 3LDT over the same universe $[-n^c,n^c]$ for some $c\geq2$ are equivalent under subquadratic reductions. The main technical tool used in our proof is an application of the famous Behrend's construction that partitions a given set of integers into few subsets that avoid a chosen linear equation. We extend our results to Conv3LDT and show that for all $c\geq2$, all non-trivial variants of 3LDT over the universe $[-n^c,n^c]$ and of Conv3LDT over the universe $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ are subquadratic-equivalent, so in particular they are all equivalent to 3SUM under subquadratic reductions. Finally, we show how to apply the methods of Fischer et al. to show that we can reduce non-trivial variant of 3LDT (Conv3LDT) over an arbitrary universe to the same variant over cubic (quadratic) universe.

研究の動機と目的

• エリクソンが提起した、x₁ + x₂ = 2x₃問題の3SUM困難性に関する未解決問題を解明すること。
• 多項式的に有界なドメイン上での3LDTおよびConv3LDTのすべての変種を分類すること。
• c ≥ 2 に対して [−nc, nc] 上の非自明な3LDT変種が、3SUMと非二次的同値であることを示すこと。
• c ≥ 2 に対して [−nc−1, nc−1] 上の畳み込みに基づく変種（Conv3LDT）に対しても同値性を拡張すること。
• 任意のドメインが、同値性を失わずに立方体的または二次的ドメインに還元可能であることを示すこと。

提案手法

• 整数集合を少数の和自由集合に分割できるように、ベレンの構成を応用して構造的還元を可能にする。
• 非二次的還元を用いて、c ≥ 2 に対して [−nc, nc] 上の非自明な3LDT変種の間の同値性を示す。
• 還元をConv3LDTへ拡張し、c ≥ 2 に対して [−nc−1, nc−1] 上で3SUMと同値であることを証明する。
• Fischerら（ITCS 2024）の技術を活用して、任意のドメインを立方体的または二次的ドメインに還元する。
• 3LDTにおける相異なる制約を扱うために、カラーリングとパラメータ付き還元を用いる。
• 3LDT変種と3SUMの間で双方向の非二次的還元を確立し、完全性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 x₁ + x₂ = 2x₃問題は3SUM困難であるか。エリクソンの未解決問題を解消する。
• RQ2 c ≥ 2 に対して [−nc, nc] 上のすべての非自明な3LDT変種は、3SUMと非二次的同値であるか。
• RQ3 c ≥ 2 に対して [−nc−1, nc−1] 上のConv3LDT変種に対しても同様の同値性が成立するか。
• RQ4 3LDTの任意のドメインは、同値性を保ちつつ立方体的ドメインに還元可能か。
• RQ5 Conv3LDTは、同値性を失わず、二次的ドメインに還元可能か。

主な発見

• c ≥ 2 に対して [−nc, nc] 上のすべての非自明な3LDT変種は、3SUMと非二次的同値である。
• c ≥ 2 に対して [−nc−1, nc−1] 上のすべての非自明なConv3LDT変種は、3SUMと非二次的同値である。
• x₁ + x₂ = 2x₃問題は3SUM困難である。エリクソンの未解決問題が解決された。
• 還元技術は、ベレンの構成を用いて整数を少数の和自由集合に分割することに依存する。
• 任意のドメイン上の非自明な3LDT変種は、非二次的オーバーヘッドで立方体的ドメイン上の変種に還元可能である。
• 任意のドメイン上のConv3LDT変種は、非二次的オーバーヘッドで二次的ドメイン上の変種に還元可能である。