[論文レビュー] Equivalences for noncommutative projective spaces

Jorge Vitória|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換射영空間が斜め多項式代数に関連して、階数モラータ同値および有理同値に関して分類され、点多様体やゴレンシュタインパラメータといった不変量を用いて分類される。点多様体は同型の下で保存されるが、有理同値の下では保存されないことが示され、同型な点多様体を持つ非同型の非可換射影空間の明示的例が提示され、非可換射影空間が同型であるならば、それらの階数加群カテゴリが同値であるという予想が提示される。

ABSTRACT

Following Artin and Zhang's formulation of noncommutative projective geometry, we classify up a family of skew polynomial quadratic algebras up to graded Morita equivalence and their corresponding noncommutative projective spaces up to birational equivalences. We also study their point varieties and provide examples of non-isomorphic noncommutative projective spaces.

研究の動機と目的

• 斜め多項式代数に関連する非可換射影空間を階数モラータ同値に関して分類すること。
• そのような空間間の有理同値を、その分数体の次数零部分環の同型を通じて研究すること。
• 非可換射影空間の点多様体を同型の下での不変量として計算・分析すること。
• 非可換射影空間が同型であるならば、それらの階数加群カテゴリが同値であるかどうかを特定し、点多様体が非同型な空間を区別する役割を調査すること。

提案手法

• アーツィンとゼンの非可換射影幾何の枠組みを用い、非可換射影空間を $Tails(S^n_ω)$ として、ねじれ部分加群を除いた階数加群の圏として定義する。
• $Gr(S^n_ω)$ と $Gr(S^n_{ω'})$ 間の階数モラータ同値を用いて、代数を同値関係に関して分類する。
• 逆系としての射影的スキーム $\Omega_i$ を用いた点多様体構成法を適用し、点多様体 $\Omega_R$ を逆極限として得る。
• ゴレンシュタインパラメータと強いたしの例外的集合を用いて、$Tails(S^n_ω)$ を関係を持つパス代数と関連付ける。
• $GL_n(\mathbb{Z})$-作用を指数に施すことにより、$q$-循環数 $q_{(1ij)}(\omega)$ を用いて有理同値を検出する。
• 自己準同型代数 $B^n_\omega$ のベイリソンクーヴィーとパス代数表現を用いて、導来同値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換射影空間 $\mathbb{P}^{n-1}_\omega$ と $\mathbb{P}^{n-1}_{\omega'}$ がいつ同型であるか？
• RQ2 階数加群カテゴリ $Gr(S^n_\omega)$ と $Gr(S^n_{\omega'})$ がいつ同値であるか？
• RQ3 非可換射影空間間の有理同値は、それらの点多様体を保存するか？
• RQ4 非同型の非可換射影空間が同型の点多様体を持つことは可能か？
• RQ5 非可換射影空間の同型は、それらの階数加群カテゴリの同値と同値であるか？

主な発見

• $n=3$ の場合、同型な非可換射影空間 $\mathbb{P}^2_\omega$ と $\mathbb{P}^2_{\omega'}$ は、同値な階数加群カテゴリ $Gr(S^3_\omega) \cong Gr(S^3_{\omega'})$ を持ち、それらの点多様体も同型である。
• $n=4$ の場合、有理同値な非可換射影空間 $\mathbb{P}^3_\omega$ と $\mathbb{P}^3_{\omega'}$ が存在し、それらの点多様体は非同型である：一方は2つの超平面と1本の直線を持ち、他方は6本の直線を持つ。
• 非可換射影空間の同型の下で点多様体は保存され、モリの定理によるExtモジュールとゴレンシュタインパラメータのおかげで保証される。
• 有理同値は点多様体の同型を保証しないことが、次元3の明示的反例によって示された。
• 同型な点多様体を持つにもかかわらず、有理同値は階数モラータ同値を保証しない。同型な点多様体を持つが、$Gr(S^4_\omega)$ が同値でない代数のペアによって、それが示された。
• 本論文は、$\mathbb{P}^{n-1}_\omega \cong \mathbb{P}^{n-1}_{\omega'}$ ならば $Gr(S_\omega) \cong Gr(S_{\omega'})$ であると予想し、$n=3$ の結果を高次元へ拡張する。