[論文レビュー] Equivariant characteristic classes of complex algebraic varieties

Sylvain E. Cappell, Laurenţiu Maxim+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、有限群作用を伴う特異な準射影的多様体に対して、等長的ヒルツェブルーチ特性類を導入し、Brasselet-Schuermann-Yokuraのホモロジー・ヒルツェブルーチ類を等長的設定へと拡張する。この研究は、グローバル商多様体におけるこれらの類の計算を可能にする枠組みを確立し、モノドロミー問題やオルビフォールド上のねじれた類に対するアティヤ＝マイヤー型の公式への応用を行う。

ABSTRACT

Homology Hirzebruch characteristic classes for singular varieties have been recently defined by Brasselet-Schuermann-Yokura as an attempt to unify previously known characteristic class theories for singular spaces (e.g., MacPherson-Chern classes, Baum-Fulton-MacPherson Todd classes, and Goresky-MacPherson L-classes, respectively). In this note we define equivariant analogues of these classes for singular quasi-projective varieties acted upon by a finite group of algebraic automorphisms, and show how these can be used to calculate the homology Hirzebruch classes of global quotient varieties. We also compute the new classes in the context of monodromy problems, e.g., for varieties that fiber equivariantly (in the complex topology) over a connected algebraic manifold. As another application, we discuss Atiyah-Meyer type formulae for twisted Hirzebruch classes of global orbifolds.

研究の動機と目的

• 特異的多様体のホモロジー・ヒルツェブルーチ特性類を、有限群作用下の等長的設定へと拡張すること。
• 群作用から生じるグローバル商多様体におけるこれらの類を体系的に計算するための手法を提供すること。
• 等長的類を、連結な代数的多様体上での等長的ファイブレーションを伴うモノドロミー問題に応用すること。
• グローバル・オルビフォールド上のねじれたヒルツェブルーチ類に対して、アティヤ＝マイヤー型の公式を導出すること。
• 群に等長的な特異的代数的多様体の文脈において、既存の特性類理論（例えば、チャーン類、トッド類、L-類）を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 特異な準射影的多様体上の連接層の等長的グローバー代数的群を用いて、等長的特性類を定義する。
• K理論とホモロジーを結ぶ等長的リーマン・ロッホ型定理を用いて、類を構成する。
• グローバル商構造を活用し、固定点のデータおよび群表現論を用いて等長的類を表現する。
• 複素解析的トポロジーを持つファイブレーションに類を適用し、モノドロミー行動を分析する。
• 等長的オイラー類およびベクトルバンドルの特性類を組み込むことで、ねじれたヒルツェブルーチ類の公式を導出する。
• 等長的コホモロジーにおける局所化技術を活用し、特定の幾何的設定において類を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー・ヒルツェブルーチ特性類は、有限群作用を伴う特異的多様体へとどのように一般化可能か？
• RQ2 グローバル商多様体における等長的特性類の構造はいかなるものか？
• RQ3 これらの類は、複素トポロジーにおける等長的ファイブレーションおよびモノドロミーにおいてどのように振る舞うか？
• RQ4 アティヤ＝マイヤー型の公式は、グローバル・オルビフォールド上のねじれたヒルツェブルーチ類へと拡張可能か？
• RQ5 新しい等長的類と、チャーン類、トッド類、L-類などの古典的特性類との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、有限群作用を伴う特異的準射影的多様体に対して、等長的ヒルツェブルーチ特性類を明示的に定義し、非等長的理論を一般化することに成功した。
• 固定点の局所化および表現論的データを用いることで、グローバル商多様体における類が計算可能であることが示された。
• この枠組みにより、特にモノドロミーの文脈において、ホモロジー・ヒルツェブルーチ類の明示的計算が可能となった。
• グローバル・オルビフォールド上のねじれたヒルツェブルーチ類に対して、アティヤ＝マイヤー型の公式が確立され、既知の結果が等長的設定へと拡張された。
• 等長的類は、適切な極限において、マクフィーソンのチャーン類やバウム＝フォルトン＝マクフィーソンのトッド類といった古典的不変量を回復する。
• この理論は、特異的特性類と群に等長的な幾何学・位相的構造を結びつける統一的枠組みを提供する。