[論文レビュー] Equivariant Cohomology and Gauged Bosonic sigma-Models

José Figueroa-O’Farrill, Sonia Stanciu|ArXiv.org|Jul 22, 1994

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、d次元のボソン的sigma模型におけるWess-Zumino項のゲージ化の障害を、終着空間の等長コホロジーを用いて再定式化し、障害を等長コホロジーの部分複体内のクラスとして同定する。d ≤ 4の次元において、コンパクトおよび非コンパクトな半単純リー群について、終着多様体の位相的条件の下で障害の不在を保証する消去定理を証明し、このホモロジー的枠組みを通じて既知の位相的項を一般化する。

ABSTRACT

We re-examine the problem of gauging the Wess-Zumino term of a d-dimensional bosonic sigma-model. We phrase this problem in terms of the equivariant cohomology of the target space and this allows for the homological analysis of the obstruction. As a check, we recover the obstructions of Hull and Spence and also a generalization of the topological terms found by Hull, Rocek and de Wit. When the symmetry group is compact, we use topological tools to derive vanishing theorems which guarantee the absence of obstructions for low dimension (d<=4) but for a variety of target manifolds. For example, any compact semisimple Lie group can be gauged in a three-dimensional sigma-model with simply connected target space. When the symmetry group is semisimple but not necessarily compact, we argue in favor of the persistence of these vanishing theorems by making use of (conjectural) equivariant minimal models (in the sense of Sullivan). By way of persuasion, we construct by hand a few such equivariant minimal models, which may be of independent interest. We illustrate our results with two examples: d=1 with a symplectic target space, and d=2 with target space a Lie group admitting a bi-invariant metric. An alternative homological interpretation of the obstruction is obtained by a closer study of the Noether method. This method displays the obstruction as a class in BRST cohomology at ghost number 1. We comment on the relationship with consistent anomalies.

研究の動機と目的

• d次元のボソン的sigma模型におけるWess-Zumino項のゲージ化の障害の背後にある正確なコホロロジー的構造を特定すること。
• 大規模な終着多様体および対称性群のクラスにおいて、障害の不在を保証する事前消去定理を導出すること。
• Hull、Roècek、de Witによって得られた既知の位相的項を、等長コホロロジー的枠組みを用いて一般化すること。
• 予想的な等長最小モデルを介して、非コンパクトな半単純群への分析を拡張すること。
• BRST法による障害のホモロジー的解釈を提供し、それをゴースト数1のコホロジーに関連付けること。

提案手法

• ゲージ不変性を群作用に関する等長性として扱うことで、終着多様体の等長コホロジーの観点からゲージ化問題を定式化する。
• Weil代数とWeil同型写像を用いて、de Rhamモデルにおける等長コホロジーを実現し、ゲージ不変項を等長コサイクルとして同定する。
• 障害が存在する部分複体を定義し、長完全系列の接続写像による像として現れることを示す。
• Lerayスペクトル系列を含む位相的道具を用いて等長コホロジーを計算し、コンパクト群に対する消去定理を導出する。
• 非コンパクトな半単純群への消去定理の拡張のため、等長最小モデルの概念を導入する。
• BRST法を再解釈し、障害をゴースト数1におけるBRSTコホロジーのクラスとして同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元のボソン的sigma模型におけるWess-Zumino項のゲージ化の障害を支配するコホロロジー的構造は何か？
• RQ2 特にd ≤ 4において、終着多様体および対称性群のどのような位相的条件下で障害が消えるか？
• RQ3 Hull、Roècek、de Witによって得られた既知の位相的項は、等長コホロロジー枠組み内でどのように回復され、一般化されるか？
• RQ4 コンパクト群に対する消去定理は、等長最小モデルを用いて非コンパクトな半単純群へ拡張可能か？
• RQ5 BRST形式における障害と等長コホロロジー類との関係は何か？

主な発見

• Wess-Zumino項のゲージ化の障害は、終着空間の等長コホロジー内のクラスとして同定され、長完全系列における接続写像によるWess-Zumino類の像として現れる。
• コンパクトな半単純リー群では、3次元モデルにおいて終着空間が単連結であれば障害は消える。
• 4次元モデルでは、終着空間が高々1つのU(1)因子をもつリー群であり、かつ群が立方体カシミールを持たない場合、障害は消える。
• 等長最小モデルの存在を仮定することで、非コンパクトな半単純群に対しても消去定理が成立する。この仮定は、このようなモデルの明示的構成によって裏付けられる。
• BRST法により、障害がゴースト数1におけるコホロジーのクラスとして確認され、ホモロジー的解釈が得られる。
• この枠組みは、Hull、Roècek、de Witによって得られた位相的項を一般化し、再現し、それらの起源が等長コホロジーに由来することを示している。