[論文レビュー] Equivariant Cohomology and Localization Formula in Supergeometry

Pascal Lavaud|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の幾何的条件下の下で、超幾何学へのベルリン＝ベルジュの等変形局在公式の一般化を、超ベクトル bundle に対して一般化係数を有する等変形トム形式を構成することによって実現する。非孤立な固定点を持つ(supermanifold)上での可積分な等変形形式の局在公式を、超接続とモーメント写像の正定性条件から導かれる一般化されたオイラー類を用いて確立し、古典的公式をリー超群および非コンパクト作用へと拡張する。

ABSTRACT

Let G be a compact Lie group. Let M be a smooth G-manifold and V --> M be an oriented G-equivariant vector bundle. One defines the spaces of equivariant forms with generalized coefficients on V and M. An equivariant Thom form $θ$ on V is a compactly supported closed equivariant form such that its integral along the fibres is the constant function 1 on M. Such a Thom form was constructed by Mathai and Quillen. Its restriction to M gives a representative of the equivariant Euler class of V. In the supergeometric situation we give proper definitions of all the objects involved. But, in this case a Thom form doesn't always exist. In this article, when the action of G on V is sufficiently non-trivial, we construct such a Thom form with generalized coefficients. We use it to construct an equivariant Euler form of V and to generalize Berline-Vergne's localization formula to the supergeometric situation.

研究の動機と目的

• リー超群の作用を備えた(supermanifold)へのベルリン＝ベルジュの局在公式の拡張を図ること。
• 標準的トム形式が存在しない状況下で、超ベクトル bundle の等変形オイラー類の代表元を構成すること。
• 作用が十分に非自明な場合に、一般化係数を有する一般化された等変形トム形式を定義すること。
• 非孤立な固定点を持つグローバルに向き付け可能な(supermanifold)上での可積分な等変形形式の局在公式を確立すること。
• キリロフ型特徴関数のテストとリー超代数上での不変一般化関数の構成のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 標準的トム形式が存在しない場合に、$G$-等変形超ベクトル bundle $\mathcal{V} \to M$ 上に一般化係数を有する等変形トム形式を構成する。
• $G(X)$-不変なユークリッド構造 $Q$ と、正規束 $T_N M(X)$ 上の $G(X)$-不変超接続 $\mathbb{A}_{\mathfrak{g}}$ およびモーメント写像 $\mu_{\mathbb{A}}$ を用いる。
• 条件 $(**)$ を課す：$M_0$ のある開被覆 $\{W\}$ に対して、$U_+^{T_N M(X)_1}(W)$ が空でない開部分集合を含むことにより、奇数次元の断面において $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}}$ の正定性を保証する。
• 超接続とモーメント写像を用いて、$T_N M(X)$ の等変形オイラー類の代表元として等変形オイラー形式 $\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)$ を定義する。
• 全ファイバーではなく、スーパー束の偶数次元部分 $\mathcal{V}^0$ に沿った積分を用いる修正されたトム同型を適用し、$\widehat{\Omega}_{\int}(\mathcal{V})$ と $\widehat{\Omega}_{\int}(M)$ のコホモロジーを関連付ける。
• $G$-不変性と正規束への同型を用い、局在問題を $T_N M(X)$ 内の $M(X)$ の近傍へと移行し、非超幾何的局在議論の超版を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー超群の作用下で、非孤立な固定点を持つ(supermanifold)に対して、ベルリン＝ベルジュの局在公式を一般化することは可能か？
• RQ2 どのような幾何的条件下で、超ベクトル bundle に対して一般化係数を有する等変形トム形式が存在するか？
• RQ3 標準的トム形式が存在しない状況下で、超ベクトル bundle の等変形オイラー類をどのように表現できるか？
• RQ4 奇数次元ファイバー上でのモーメント写像作用の正定性が、有効な局在公式の構成に果たす役割は何か？
• RQ5 このフレームワークは、リー超代数上での不変一般化関数の定義とキリロフ型特徴関数のテストに用いることができるか？

主な発見

• 標準的トム形式が存在しない場合に、$G$-等変形超ベクトル bundle に対して一般化された等変形トム形式と一般化係数を有する形式を構成した。
• 重要な条件 $(**)$ により、奇数次元断面において $Q(v, \mu_{\mathbb{A}}(Z)v)_{\mathbb{R}} > 0$ となる $Z \in \mathfrak{g}_0(X)$ の集合が空でなく、開集合であることが保証され、オイラー形式の構成が可能となった。
• 局在公式は $X$ の近傍 $O$ において成り立ち、可積分な閉じた等変形形式 $\alpha$ に対して、等式 $\int_M \alpha(Z) = (2\pi)^{\frac{n+m}{2}} \int_{M(X)} \frac{j^*\alpha(Z)}{\mathcal{E}_{\mathfrak{g}}(Z)}$ が成立する。
• 形式 $\alpha$ の台がコンパクトであることと、非ゼロ項の数が有限であることから、公式は $M(X)$ の連結成分ごとの有限和に還元される。
• 非コンパクト作用およびリー群に還元されないリー超群に対しても適用可能であり、シュバルツとツァボルンキーによる先行結果を拡張する。
• この手法により、$\mathfrak{g}$ が冪零の場合に、超群の共軛軌道とユニタリ表現を関連付けるフレームワークが提供される。ダフルが指摘したように。