[論文レビュー] Equivariant cohomology and resolution

Pierre Albin, Richard Melrose|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかなコンパクトリー群の作用を、角を持つ多様体に作用させる際の標準的な解消を、繰り返しの吹き方（iterated blow-ups）によって確立し、すべての同相型を一様に解消する解消タワーを構築する。この解消過程を通じて、等化的K理論、カルタンモデル、および局所外の等化的コホモロジーを追跡し、商空間の解消上での明示的かつ簡略化されたモデルを導出し、解消された設定下での明示的な等化的チャーン類の構成を可能にする。

ABSTRACT

The `Folk Theorem' that a smooth action by a compact Lie group can be (canonically) resolved, by iterated blow up, to have unique isotropy type is proved in the context of manifolds with corners. This procedure is shown to capture the simultaneous resolution of all isotropy types in a `resolution tower' which projects to a resolution, with iterated boundary fibration, of the quotient. Equivariant K-theory and the Cartan model for equivariant cohomology are tracked under the resolution procedure as is the delocalized equivariant cohomology of Baum, Brylinski and MacPherson. This leads to resolved models for each of these cohomology theories, in terms of relative objects over the resolution tower and hence to reduced models as flat-twisted relative objects over the resolution of the quotient. As a result an explicit equivariant Chern character is constructed, essentially as in the non-equivariant case, over the resolution of the quotient.

研究の動機と目的

• 角を持つ多様体上のコンパクトリー群の滑らかな作用に対して、繰り返しの吹き方によって一意的な同相型を保証する標準的解消を提供すること。
• すべての同相型を同時に解消する解消タワーを構築し、商空間の解消へと射影すること。
• 解消過程を通じて、等化的K理論、等化的コホモロジーのカルタンモデル、および局所外の等化的コホモロジーを追跡すること。
• 商空間の解消上での、簡略化された平坦なねじれ付き相対的モデルを、等化的コホモロジー理論に対して導出すること。
• 非等化的状況と類似する、解消された設定下での明示的な等化的チャーン類を構成すること。

提案手法

• 角を持つ多様体の繰り返しの吹き方を用いて、同相型を標準的かつ一様に解消する。
• 商空間の解消へと射影する解消タワーを構築し、繰り返しの境界ファイブレーション構造を持つ。
• 解消過程を通じて、解消タワー上の相対的対象を用いて、等化的K理論および等化的コホモロジーのカルタンモデルを追跡する。
• バウム、ブリリニスキ、マクファーソンの意味での局所外の等化的コホモロジーの枠組みを拡張する。
• 各コホモロジー理論について、商空間の解消上での平坦なねじれ付き相対的モデルを導出し、構造を簡略化する。
• 解消された商空間上での明示的な等化的チャーン類を構成し、非等化的構成と類似させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角を持つ多様体上のコンパクトリー群の滑らかな作用を、非一様な同相型を排除する標準的解消でどのように達成できるか？
• RQ2 すべての同相型を同時に解消し、商空間の解消へと射影する解消タワーの構造は何か？
• RQ3 解消プロセスを通じて、等化的K理論および等化的コホモロジーのカルタンモデルはどのように変化するか？
• RQ4 解消フレームワーク内での局所外の等化的コホモロジーは、どのように保存または変形されるか？
• RQ5 非等化的状況と類似する、解消された設定下での明示的な等化的チャーン類を構成できるか？

主な発見

• コンパクトリー群の作用は、角を持つ多様体上で、繰り返しの吹き方によって標準的に解消され、一意的な同相型が得られる。
• 解消過程は、繰り返しの境界ファイブレーション構造を持つ商空間の解消へと射影する解消タワーを生じる。
• 等化的K理論および等化的コホモロジーのカルタンモデルは、解消タワー上の相対的対象として保存される。
• 局所外の等化的コホモロジーは解消過程を通じて追跡され、解消されたフレームワーク内での再定式化が可能になる。
• 3つのコホモロジー理論すべてについて、商空間の解消上での簡略化された平坦なねじれ付き相対的モデルが構成される。
• 非等化的状況と類似する、解消された商空間上での明示的な等化的チャーン類が実現される。