[論文レビュー] Equivariant Dirac operators and differentiable geometric invariant theory

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン群作用を伴うコンパクト多様体上の等変Dirac作用素に対して、微分可能な幾何的不変量理論の枠組みを確立し、Guillemin-Sternbergの結果をスピン$^c$設定に一般化する。多様体$M$上のねじれたDirac作用素の等変指数は、適切な共軛軌道に関連する縮約空間からの局所的寄与によって計算可能であり、その重みはこれらの縮約空間の量子化によって定まる。これは、モーメント写像の像が非凸であったり、縮約空間が非連結であったりする場合でも成り立つ。

ABSTRACT

In this paper, we give a geometric expression for the multiplicities of the equivariant index of a spin-c Dirac operator.

研究の動機と目的

• Guillemin-Sternbergの等変指数とGIT商に関する結果を、微分的かつスピン$^c$設定に拡張すること。
• モーメント写像と共転軌道を用いて、Dirac作用素に対する幾何的不変量理論を定式化すること。
• 自明表現の祖先を導入することで、非凸性や非連結性を示す縮約空間の問題を解決すること。
• 縮約空間の量子化を用いて、等変指数における既約表現の重みを求める公式を提示すること。

提案手法

• K-不変なスピン$^c$構造を備えた、コンパクトで向き付け可能かつ偶数次元の多様体上の等変Dirac作用素の使用。
• Witten変形を用いて横断的楕円型作用素を解析し、指標を局所化する。
• モーメント写像の等値集合と同型型分解を用いて縮約空間を構成する。
• 適切な共転軌道と$\mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}_K$写像を導入し、既約表現をパrameter化する。
• 固定点部分多様体および共転軌道における局所化公式を用いて重みを計算する。
• スピン$^c$バンドルの決定的線束とそのモーメント写像を計算し、縮約空間の構造を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上のねじれたDirac作用素の等変指数は、微分的カテゴリーにおける幾何的商構成を用いて計算可能か？
• RQ2 非凸なモーメント写像の像や非連結な縮約空間は、指数における自明表現の重みにどのように影響するか？
• RQ3 適切な共転軌道およびそれらの祖先は、既約表現の重みを計算する際に果たす役割は何か？
• RQ4 Witten変形と局所化理論は、横断的楕円型作用素に対してスピン$^c$設定へどのように拡張可能か？
• RQ5 点または非連結な場合であっても、縮約空間の量子化が、指数における正しい重みを回復できるか？

主な発見

• 半単純部$[\mathfrak{k}_M,\mathfrak{k}_M]$が、任意の$\mathfrak{h} \in \mathcal{H}_{\mathfrak{k}}$に対する$[\mathfrak{h},\mathfrak{h}]$と一致しない場合、等変指数$\mathcal{Q}_K(M,\mathcal{S})$は消える。
• 自明表現の重みは、$\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$が自明表現の祖先であるとき、$\mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}(M_{\mathcal{P}_1}) + \mathrm{Q}^{\mathrm{spin}}(M_{\mathcal{P}_2})$の和として与えられる。
• ラインバンドル$\mathcal{L}(a,b)$を備えたフラッグ多様体$M \subset \mathrm{Gr}(2,4)$において、$a \geq 4$かつ$b \geq 1$のとき、自明表現の重みは$-2$であり、これは2つの異なる縮約空間に起因する。
• Kirwan集合$\Phi_{a,b}(M) \cap \mathfrak{t}^*_{\geq 0}$は非凸であり、$[0,b+1]\omega_1 \cup [0,a-2]\omega_2$で構成され、凸性が公式の成立に必要でないことを示している。
• $\mathcal{P}_i = K(\frac{3}{2}\omega_i)$に対応する縮約空間は点であり、それぞれの量子化は$-1$をもたらし、合計で自明表現の重みは$-2$となる。
• 式(5.37)は、$\pi_{k\omega_1 + \rho}$が$k \in \{0, \dots, b-1\}$のときのみ出現し、$\pi_{j\omega_2 + \rho}$が$j \in \{0, \dots, a-4\}$のときのみ出現することを正しく予測しており、各縮約空間の量子化は$-1$に等しい。