[論文レビュー] Equivariant K-theory of finite dimensional real vector spaces

Siegfried Echterhoff, Oliver Pfante|ArXiv.org|Mar 5, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、群の二重被覆の表現論を用いて、コンpakト群作用をもつ有限次元実ベクトル空間の等変複素K理論の一般式を確立する。K理論群は、共役作用の下での負の表現の軌道によって決定され、O(n) や有限群などの場合に明示的な計算を行い、既知の結果を回復するとともに、向きを保つ作用を超えて拡張する。

ABSTRACT

We give a general formula for the equivariant complex $K$-theory $K_G^*(V)$ of a finite dimensional real linear space $V$ equipped with a linear action of a compact group $G$ in terms of the representation theory of a certain double cover of $G$. Using this general formula, we give explicit computations in various interesting special cases. In particular, as an application we obtain explicit formulas for the $K$-theory of $C_r^*(GL(n,\RR))$, the reduced group C*-algebra of $GL(n,\RR)$.

研究の動機と目的

• コンパクト群 G が作用する有限次元実ベクトル空間 V に対する等変K理論 $ K_G^*(V) $ の一般式を提供すること。
• 古典的等変ボット周期性の結果を、$ \mathrm{Spin}(V) $ への上昇が妨げられるシュティーフェル＝ブライトン類によって妨げられる向きを保たない作用へと拡張すること。
• 最大コンパクト部分群が接空間に作用することにより、ほとんど連結な群 H に対して $ K_*(C_r^*(H)) $ を計算すること。
• 向きを保たない場合における $ K_G^*(V) $ の構造を解明し、K理論が2を法として単一の次数に集中しない可能性があることを明らかにすること。
• 対称群および直交群、特に $ \mathrm{O}(n) $ が $ \mathbb{R}^n $ に作用する場合の明示的公式を回復し、一般化すること。

提案手法

• Kasparovの等変ボット周期性の $ \mathrm{KK}^G $-理論的版を用い、$ C_0(V) $ とクリフォード代数 $ \mathrm{C}l(V) $ を関連付けること。
• グリーン＝ジュールの定理を用いて、問題を $ \mathrm{KK}(\mathbb{C}, \mathrm{C}l(V) \rtimes G) $ の計算に還元すること。
• 作用 $ \rho: G \to \mathrm{O}(V) $ に関連して、ピン群 $ \mathrm{Pin}(V) $ を通じた中心拡大 $ G_\rho \to G $ の構成。
• $ K_\rho \subseteq G_\rho $ を $ \mathrm{SO}(V) $ の逆像として定義し、これは指数1または2の正規部分群である。
• $ -1 \in \mathbb{Z}_2 \subseteq G_\rho $ の作用による $ K_\rho $ の既約表現の正と負のタイプへの分類。
• $ \widehat{K}_\rho^{-} $ の負の表現の共役軌道の分析により、$ K_G^*(V) $ の構造を決定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用が向きを保たない場合、特に作用が $ \mathrm{Spin}(V) $ に上昇しない場合、等変K理論 $ K_G^*(V) $ はどのように振る舞うか。
• RQ2 コンパクト群 G が有限次元実ベクトル空間 V に線形に作用する場合、$ K_G^*(V) $ の一般代数的構造は何か。
• RQ3 最大コンパクト部分群が接空間に作用することにより、ほとんど連結な群 H に対する $ C_r^*(H) $ のK理論はどのように計算できるか。
• RQ4 ピン群を介して構成された G の二重被覆 $ G_\rho $ は、V のK理論を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ5 $ K_\rho $ の負の表現の共役軌道は、K理論群 $ K_0^G(V) $ と $ K_1^G(V) $ をどのように分類するか。

主な発見

• O(n) が $ \mathbb{R}^n $ に作用する場合、$ n > 1 $ では $ K_{\mathrm{O}(n)}^1(\mathbb{R}^n) = \{0\} $ かつ $ K_{\mathrm{O}(n)}^0(\mathbb{R}^n) \cong \bigoplus_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} $ であり、$ n = 1 $ の場合は $ K^0 \cong \mathbb{Z} $ である。
• $ \rho(G) \subseteq \mathrm{SO}(V) $ のとき、$ K_0^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \widehat{G}_\rho^{-}} \mathbb{Z} $ かつ $ K_1^G(V) = \{0\} $ であり、古典的ボット周期性の結果を一般化する。
• $ \rho(G) \not\subseteq \mathrm{SO}(V) $ のとき、$ K_0^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \mathcal{O}_2} \mathbb{Z} $ かつ $ K_1^G(V) \cong \bigoplus_{[\tau] \in \mathcal{O}_1} \mathbb{Z} $ であり、ここで $ \mathcal{O}_1 $ と $ \mathcal{O}_2 $ は $ K_\rho $ の負の表現の長さ1および2の共役軌道の集合である。
• $ n = 2m \geq 4 $ のとき、$ \mathrm{Spin}(n) $ の表現 $ \Sigma^\pm $ は $ \mathrm{Pin}(n) $ による共役作用の下で長さ2の1つの軌道をなす。また、$ \mathrm{Pin}(n) \setminus \mathrm{Spin}(n) $ の元による共役作用で $ \mathrm{Spin}(n) $ の負の表現が固定されることはない。
• $ \mathrm{Spin}(n) $ に対しては $ \mathcal{O}_1 $ は空集合で、$ \mathcal{O}_2 $ は可算無限個である。一方、$ \mathrm{O}(n) $ による $ \mathrm{SO}(n) $ の作用の下では、$ \mathcal{O}_1 $ と $ \mathcal{O}_2 $ ともに可算無限個である。
• $ \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) $ の $ C_r^*(\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})) $ のK理論は、$ \mathrm{O}(n) $ が $ \mathbb{R}^n $ に作用するものに基づき、$ K_G^*(V) $ の一般式を用いて明示的に計算されている。