[論文レビュー] Equivariant local coefficients and the RO(G)-graded cohomology of classifying spaces

Megan Elizabeth Shulman|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、局所係数を伴うRO(G)-重層Bredonコホモロジーに対する等変性スペクトル系列を構築し、古典的なSerreスペクトル系列の手法を等変設定に拡張する。Lewis (1988) における複素射影空間のコホモロジーに関する誤った証明を是正し、新規に構築したスペクトル系列を用いて、$B_{C_p}O(2)$ のRO(C_p)-重層コホモロジーを計算する。その結果、$
\mathbb{Z}[p_1, \alpha, \beta]/(2\alpha=0, 2\beta=0, \beta^2 = p_1\alpha)$ 上の次数付き代数としての乗法的構造が完全に特定される。

ABSTRACT

This thesis consists of two main parts. In the second part, we recall how a description of local coefficients that Eilenberg introduced in the 1940s leads to spectral sequences for the computation of homology and cohomology with local coefficients. We then show how to construct new equivariant analogues of these spectral sequences for RO(G)-graded Bredon homology and cohomology. Finally, we use these spectral sequences to complete a sample calculation, in which we use the equivariant Serre spectral sequence and the equivariant cohomology of complex projective spaces to compute the cohomology of the equivariant classifying space B_Cp O(2). However, to complete this sample computation, we need to know the cohomology of complex projective space. This calculation was done in a 1988 paper by Gaunce Lewis, but relies on a theorem whose proof as given was incorrect. We spend the first part of this thesis providing a correct proof and summarizing the results of Lewis's paper.

研究の動機と目的

• RO(G)-重層Bredonコホモロジーにおける基礎的計算の不足に応えること、特に $G = C_p$ の場合に焦点を当てる。
• Lewis (1988) における複素射影空間の等変コホモロジーに関する誤った補題を是正すること。
• RO(G)-重層Bredonコホモロジーに局所係数を伴う等変Serreスペクトル系列を構築し、それを適用すること。
• これらのツールを用いて、$B_{C_p}O(2)$ のRO(C_p)-重層コホモロジーを計算すること。
• 得られたコホモロジーリングの乗法的構造を確立すること。

提案手法

• 局所係数のためのEilenbergの枠組みを等変設定に適応させ、RO(G)-重層Bredonコホモロジーにおけるスペクトル系列を可能にする。
• Mackey函手値を係数とするボックス積を用いて、Serreスペクトル系列の等変類似物を構築する。
• Lewisの主要補題の新証明により是正された、$\mathbb{C}P(\mathcal{U}_\mathbb{C}) = B_{C_p}SO(2)$ の等変コホモロジーを入力として用いる。
• ファイブレーション $B_{C_p}O(2) \to B_{C_p}\mathbb{Z}/2$ にスペクトル系列を適用し、ファイバーが $B_{C_p}SO(2}$ であることを考慮して、$\mathbb{Z}[\mathbb{Z}/2]$ 上の $\operatorname{Ext}$ 群を用いて $E_2$ ページを計算する。
• Leibniz則と torsion の考察を用いて微分と拡張問題を解析し、スペクトル系列を $E_\infty$ で解消する。
• スペクトル系列から得られる生成子と関係式を用いて、最終的なコホモロジーリングの乗法的構造を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変コホモロジーにおけるRO(G)-重層設定に、局所係数系をどのように一般化できるか？
• RQ2 Lewis (1988) における $B_{C_p}SO(2)$ のコホモロジーに関する主要補題の正しい証明は何か？
• RQ3 Serreスペクトル系列をRO(G)-重層Bredonコホモロジーに局所係数を伴って計算するために、どのように適合させられるか？
• RQ4 $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2); \mathbb{Z})$ の乗法的構造は何か？
• RQ5 スペクトル系列における拡張問題と微分が、最終的なコホモロジーリングにどのように影響するか？

主な発見

• 係数 $\mathbb{Z}$ を持つ $B_{C_p}O(2)$ のコホモロジーは、$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2); \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[p_1, \alpha, \beta]/(2\alpha = 0, 2\beta = 0, \beta^2 = p_1\alpha)$ として計算され、これは $\mathbb{Z}$ 上の次数付き代数である。
• スペクトル系列は $E_2$ で崩壊し、次元的制約により $d_3$ を除くすべての微分が消える。
• $H^2 \cong \mathbb{Z}/2$ は $\alpha$ で生成され、$H^3 \cong \mathbb{Z}/2$ は $\beta$ で生成され、$H^4 \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$ で、$\mathbb{Z}$ 成分は $p_1$ で生成される。
• $H^4$ の拡張問題は $\mathbb{Z}$ の射影性により分解可能であり、直接和分解が可能である。
• 適切な生成子の変更により、関係式 $\alpha p_1 = \beta^2$ が達成され、スペクトル系列のフィルトレーションと整合的になる。
• 最終的なコホモロジーリングの構造は、$E_2$ ページ、スペクトル系列の崩壊、および拡張問題の解消によって完全に決定される。