[論文レビュー] Equivariant localization in factorization homology and applications in mathematical physics II: Gauge theory applications

Dylan Butson|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、4次元超対称ゲージ理論における要因分解代数の幾何的モデルを構成するために、不変因子分解ホモロジーを適用する。Coulomb分岐代数が商スタック上のチャーラル微分作用素に作用することを証明し、不変構造をTate幾何と同定する。4次元 $σ$-モデルの混合正則的・トポロジカル的ねじれの数学的枠組みを確立し、不変局所化を用いてRees代数と関連付ける。

ABSTRACT

We give an account of the theory of factorization spaces, categories, functors, and algebras, following the approach of [Ras1]. We apply these results to give geometric constructions of factorization $\\mathbb{E}_n$ algebras describing mixed holomorphic-topological twists of supersymmetric gauge theories in low dimensions. We formulate and prove several recent predictions from the physics literature in this language: We recall the Coulomb branch construction of [BFN1] from this perspective. We prove a conjecture from [CosG] that the Coulomb branch factorization $\\mathbb{E}_1$ algebra $\\mathcal{A}(G,N)$ acts on the factorization algebra of chiral differential operators $\\mathcal{D}^{ch}(Y)$ on the quotient stack $Y=N/G$. We identify the latter with the semi-infinite cohomology of $\\mathcal{D}^{ch}(N)$ with respect to $\\hat{\\mathfrak{g}}$, following the results of [Ras3]. Both these results require the hypothesis that $Y$ admits a Tate structure, or equivalently that $\\mathcal{D}^{ch}(N)$ admits an action of $\\hat{\\mathfrak{g}}$ at level $\\kappa=-\ ext{Tate}$. We construct an analogous factorization $\\mathbb{E}_2$ algebra $\\mathcal{F}(Y)$ describing the local observables of the mixed holomorphic-B twist of four dimensional $\\mathcal{N}=2$ gauge theory. We apply the theory of equivariant factorization algebras of the prequel [Bu1] in this example: we identify $S^1$ equivariant structures on $\\mathcal{F}(Y)$ with Tate structures on $Y=N/G$, and prove that the corresponding filtered quantization of $\\iota^!\\mathcal{F}(Y)$ is given by the two-periodic Rees algebra of chiral differential operators on $Y$. This gives a mathematical account of the results of [Beem4]. Finally, we apply the equivariant cigar reduction principle of [Bu1] to explain the relationship between these results and our account of the results of [CosG] described above.

研究の動機と目的

• 4次元 $σ$-モデルの混合正則的・トポロジカル的ねじれを記述する要因分解 $É_n$ 代数の幾何的構成を提供すること。
• $Y = N/G$ に対して、$τ^{ch}(Y)$ であるチャーラル微分作用素に、Coulomb分岐要因分解 $É_1$ 代数 $τ(G,N)$ が作用することを、Tate構造仮定の下で証明すること。
• 4次元 $σ$-理論の混合正則的-B ねじれにおける局所観測量の数学的モデルとして、要因分解 $É_2$ 代数 $τ(Y)$ を構成し、$Y = N/G$ 上の不変構造と関連付けること。
• $S^1$-不変構造と $τ(Y)$ に付随するTate構造の間の対応関係を確立し、$Ω^!τ(Y)$ のフィルター付き量子化を、$τ^{ch}(Y)$ の2周期的Rees代数として同定すること。

提案手法

• [Ras1] に従う要因分解空間およびカテゴリの枠組みを用い、それを不変設定に拡張する。
• [Bu1] の不変局所化技術を適用し、要因分解代数上の $S^1$-不変構造と商スタック上のTate構造との関係を確立する。
• 半無限コホホロジー構成を用い、$τ^{ch}(Y)$ を $\hat{\mathfrak{g}}$ に関するレベル $\kappa = -\text{Tate}$ における $τ^{ch}(N)$ の半無限コホホロジーと同定する。
• 4次元 $σ$-モデルの混合正則的-B ねじれにおける局所観測量の数学的モデルとして、要因分解 $É_2$ 代数 $τ(Y)$ を構成する。
• [Bu1] に示されたシガー還元原理を用い、$É_1$ と $É_2$ の構成を関連付け、次元を跨ぐ枠組みを統一する。
• $Y = N/G$ にTate構造が存在することを仮定することで、$τ(G,N)$ の $τ^{ch}(Y)$ への作用およびRees代数同定の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $σ$-理論における混合正則的・トポロジカル的ねじれをモデル化する要因分解代数を、どのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 Coulomb分岐が $N/G$ 上のチャーラル微分作用素に作用する、明確な数学的実現は何か？
• RQ3 要因分解代数上の $S^1$-不変構造と商スタック $N/G$ 上のTate構造との間には、どのような対応関係があるか？
• RQ4 4次元 $σ$-理論の文脈において、$Ω^!\u03c4(Y)$ の引き戻しのフィルター付き量子化は何か？
• RQ5 不変シガー還元原理は、この枠組みにおいて $É_1$ と $É_2$ の構成をどのように統一するか？

主な発見

• $Y = N/G$ がTate構造を備えると仮定した下で、Coulomb分岐要因分解 $É_1$ 代数 $τ(G,N)$ が、$Y = N/G$ 上のチャーラル微分作用素の要因分解代数 $τ^{ch}(Y)$ に作用する。
• 要因分解代数 $τ^{ch}(Y)$ は、$\hat{\mathfrak{g}}$ に関するレベル $\kappa = -\text{Tate}$ における $τ^{ch}(N)$ の半無限コホホロジーと同定される。
• 要因分解 $É_2$ 代数 $τ(Y)$ に付随する $S^1$-不変構造は、$Y = N/G$ に付随するTate構造と正確に一致し、幾何的分類を確立する。
• $Ω^!\u03c4(Y)$ のフィルター付き量子化は、$τ^{ch}(Y)$ の2周期的Rees代数と同定され、[Beem4] における構成の数学的実現を提供する。
• [Bu1] に示された不変シガー還元原理を適用し、$É_1$ と $É_2$ の構成を関連付け、次元を跨ぐ一貫性を示した。
• 結果として、[CosG] および [Beem4] における物理的予測、特に4次元 $σ$-理論におけるTate構造とRees代数の役割について、厳密な数学的記述が得られた。