[論文レビュー] Equivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws

Zoran Škoda|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、C-作用圏における等変モナドと余滑らか等変ファンクターの2カテゴリと、分配則の2カテゴリとの間の同型を確立する。これはベックの古典的双対性を一般化したものであり、C-作用を伴うモナドが、モナドと分配則のペアに同値であり、高次の整合性構造が多角形図式に置き換えられる。また、擬代数間の相対的分配則へ理論を拡張する。

ABSTRACT

Fix a monoidal category C. The 2-category of monads in the 2-category of C-actegories, colax C-equivarant functors, and C-equivariant natural transformations of colax functors, may be recast in terms of pairs consisting of a usual monad and a distributive law between the monad and the action of C, morphisms of monads respecting the distributive law, and transformations of monads satisfying some compatibility with the actions and distributive laws involved. The monads in this picture may be generalized to actions of monoidal categories, and actions of PRO-s in particular. If C is a PRO as well, then in special cases one gets various distributive laws of a given classical type, for example between a comonad and an endofunctor or between a monad and a comonad. The usual pentagons are in general replaced by multigons, and there are also ``mixed'' multigons involving two distinct distributive laws. Beck's bijection between the distributive laws and lifts of one monad to the Eilenberg-Moore category of another monad is here extended to an isomorphism of 2-categories. The lifts of maps of above mentioned pairs are colax C-equivariant. We finish with a short treatment of relative distributive laws between two pseudoalgebra structures which are relative with respect to the distributivity of two pseudomonads involved, what gives a hint toward the generalizations.

研究の動機と目的

• 分配則とモナドの持ち上げの間のベックの古典的双対性を2カテゴリ的同型へ一般化すること。
• C-作用圏におけるモナドの2カテゴリを、モナドとモノイダル作用の間の分配則を用いて再定式化すること。
• PROの作用および擬代数への理論の拡張、相対的分配則を含むこと。
• 五角形ではなく多角形整合性条件を用いる高次分配則のための圏的枠組みを提供すること。
• 余滑らかC-等変ファンクターと整合性を持つ自然変換を用いて、モナドの等変持ち上げを形式化すること。

提案手法

• モノイダル圏Cの左作用が整合的であるカテゴリとしてC-作用圏を定義する。
• 作用同型と整合性を持つ自然変換ζ: F(C ⋄ M) ⇒ C ⋄ F(M) を用いて、C-作用圏間の余滑らかC-等変ファンクターを導入する。
• C-作用圏、余滑らかC-等変ファンクター、C-等変自然変換からなる厳密2カテゴリC-act^cを構成する。
• この2カテゴリにおけるモナドを、TがモナドでλがTとC作用の間の分配則であるペア(T, λ)として表現する。
• 多角形（ベックの五角形の一般化）の貼り合わせ図式を用いて、擬代数間の分配則の整合性を符号化する。
• 擬モナド間の標準的同型擬分配則can: CD ⇒ DCを用いて、擬代数間の相対的分配則を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベックの分配則とモナド持ち上げの双対性を2カテゴリ的同型へどのように拡張できるか？
• RQ2 C-作用圏におけるモナドの構造は何か？ そして、分配則を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 等変モナドの整合性条件は、高次分配則において五角形から多角形へどのように一般化されるか？
• RQ4 擬代数間の相対的分配則を定義するにあたり、標準的擬分配則can: CD ⇒ DCの役割は何か？
• RQ5 余滑らかC-等変ファンクターと自然変換は、どのようにモナドの等変持ち上げを符号化するか？

主な発見

• C-作用圏におけるモナドの2カテゴリは、モナドとC作用の間の分配則の2カテゴリと同型である。
• 古典的ベック双対性は2カテゴリの同型へ拡張され、モナドの持ち上げは余滑らかC-等変ファンクターとして実現される。
• 分配則の整合性は、五角形ではなく多角形図式によって支配され、高次圏的構造を反映する。
• 理論はPROの作用へ一般化され、古典的モナドとコモナド間の分配則を含む。
• 擬代数間の相対的分配則は、標準的擬分配則can: CD ⇒ DCを用いて定義され、非自明な2セルを含む貼り合わせ図式が用いられる。
• ティンカン恒等式や他の分配則の整合性恒等式は、埋め込まれた高次整合性セルを含む貼り合わせ図式によって表現される。