[論文レビュー] Equivariant periodic cyclic homology

Christian Voigt|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Axial and Atropisomeric Chirality Synthesis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群のための等長的周期的ホモロジーを、生来のベクトル空間と滑らかな表現を用いて導入する。微分が自乗するとゼロにならないという問題を克服するため、パラ複体を導入する。主な貢献は、ホモトピー不変性、切除、安定性を満たす完全に一般化された周期的理論であり、コンパクト群および離散群に対してグリーン＝ジャルグ双対性定理を確立し、古典的サイクリックホモロジーを等長的設定に一般化する。

ABSTRACT

We define and study equivariant periodic cyclic homology for locally compact groups. This can be viewed as a noncommutative generalization of equivariant de Rham cohomology. Although the construction resembles the Cuntz-Quillen approach to ordinary cyclic homology, a completely new feature in the equivariant setting is the fact that the basic ingredient in the theory is not a complex in the usual sense. As a consequence, in the equivariant context only the periodic cyclic theory can be defined in complete generality. Our definition recovers particular cases studied previously by various authors. We prove that bivariant equivariant periodic cyclic homology is homotopy invariant, stable and satisfies excision in both variables. Moreover we construct the exterior product which generalizes the obvious composition product. Finally we prove a Green-Julg theorem in cyclic homology for compact groups and the dual result for discrete groups.

研究の動機と目的

• すべての局所コンパクト群、特に非コンパクトおよび完全不連結群を含む、一般化された等長的周期的ホモロジーのフレームワークを構築すること。
• 等長的 X-複体における微分が ∂² = 0 を満たさないという基礎的問題を解決するため、パラ複体の概念を導入すること。
• 両変数においてホモトピー不変性、安定性、切除を満たす、クンツ＝クイレンのアプローチを等長的設定に一般化した双変理論を確立すること。
• コンパクト群に対してサイクリックホモロジーにおけるグリーン＝ジャルグ双対性定理を証明し、その双対を離散群に対して示し、古典的結果を周期的設定に拡張すること。
• 外部積を構成し、先行研究者が研究した既知の特殊ケースを回復すること。

提案手法

• 理論は、局所コンパクト群の生来のベクトル空間上の滑らかな表現の圏内で構築され、リー群、離散群、完全不連結群を統一的に取り扱える。
• 主な技術的革新は、∂² ≠ 0 である一般化された複体（パラ複体）の導入であり、等長的設定における従来の複体の代わりに用いられる。
• 群ホモロジー的データを符号化する、L²(G) 上のコンパクト作用素の G-不変部分代数 𝒦_G が使用される。これは位相的普遍被覆空間 EG に類似した役割を果たす。
• 等長的微分形式はプロ-G-代数上で定義され、等長的 X-複体とホモトピー同値であるパラミックス複体構造が得られる。
• A⊗𝒦_G のホッホシュイルド複体上で、恒等写像と φτ の合成の間のチェインホモトピーを明示的に構成し、離散群の場合のホモトピー同値性を証明する。
• 外部積はパラミックス複体のテンソル積を用いて構成され、サイクリックホモロジーにおける合成積を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の局所コンパクト群、特に非コンパクト群を含む、周期的サイクリックホモロジーを等長的設定にどのように拡張できるか。
• RQ2 なぜ通常の等長的サイクリックホモロジー HC_G* は一般には定義できないのか。その背後にある構造的障害は何か。
• RQ3 コンパクト群および離散群の両方に対して、周期的サイクリックホモロジーにおけるグリーン＝ジャルグ双対性定理を確立できるか。
• RQ4 等長的 X-複体における ∂² = 0 の不成立がホモロジー的構造に与える影響は何か。また、複体の代わりに何らかの代替枠組みが用いられるか。
• RQ5 代数 𝒦_G は、等長的設定において群論的情報をどのように符号化しているか。

主な発見

• すべての局所コンパクト群 G に対して、双変等長的周期的ホモロジー HP^G_*(A,B) が定義され、両変数においてホモトピー不変性、安定性、切除を満たす。
• 理論は、等長的 X-複体における ∂² = 0 の不成立を理由に、従来の複体の代わりにパラ複体が用いられる。
• 離散群の場合、A⊗𝒦_G のホッホシュイルド複体上の写像 φτ は恒等写像にホモトープであり、周期性に必要な主要なホモトピー同値性が証明される。
• Ω(A⋊G) と Ω_G(A⊗𝒦_G)_G の周期的サイクリックコホモロジーは同型であり、その逆写像は φ と τ によって誘導され、双対性結果が確立される。
• 外部積が構成され、サイクリックホモロジーにおける標準的合成積を一般化することが示された。
• コンパクト群に対してグリーン＝ジャルグ双対性定理が証明され、その双対が離散群に対しても成立し、古典的結果が周期的設定に拡張された。