[論文レビュー] Equivariant relative Thom forms and Chern characters

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Nov 25, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、マシュー＝クイレンのスーパーカラーブフレームワークを用いて、等長的または複素構造を備えたベクトルバンドルにおける等変相対的トム形式およびチャーン類の明示的で計算可能な公式を提示する。接続と複素構造を備えたベクトルバンドル上の微分形式を用いて、相対的チャーン類と相対的トム類の間のリーマン・ロッホの公式を確立する。主な結果は、微分形式と接続を備えたベクトルバンドル上で表現される。

ABSTRACT

These notes are the first chapter of a monograph, dedicated to a detailed proof of the equivariant index theorem for transversally elliptic operators. In this preliminary chapter, we prove a certain number of natural relations in equivariant cohomology. These relations include the Thom isomorphism in equivariant cohomology, the multiplicativity of the relative Chern characters, and the Riemann-Roch relation between the relative Chern character of the Bott symbol and of the relative Thom class.

研究の動機と目的

• 横断的楕円型作用素の文脈において、特にトム類とチャーン類を含む相対的等変コホモロジー類の明示的代表元を構築すること。
• クイレンのスーパーカラーブ構成を相対的コホモロジーへ拡張し、部分多様体付近でのサポートの制御と局所化を可能にすること。
• 等変コホモロジーにおける相対的チャーン類と相対的トム類の間のリーマン・ロッホの公式を確立すること。
• ガウス型の振る舞いを示す微分形式を用いた、等変インデックス理論不変量の体系的計算フレームワークを提供すること。
• 相対的チャーン類とトム類が、接続とベレジン積分を用いてサポートが制御された閉形式として表現可能であることを示すこと。

提案手法

• ゼロ切断以外の部分で p*Eul(V) = dβ を満たす V∖M 上の形式 β を満たす、Euler類の引き戻しと接続に依存する形式 β を用いて、明示的な相対的トム形式を構築する。
• 複素ベクトルバンドル V 上のボット変形 σ_b: ∧⁺V → ∧⁻V に対して、クイレンのスーパーカラーブとスーパートレース構成を用いて、相対的チャーン類 Ch_rel(σ_b) を定義する。
• ボルテラ展開とベレジン積分を用いて、R(x)、S(x)、T(t,x) を含む指数型形式に作用する微分作用素の推定を行う。
• クラスが (α, β) のペアとして表現される相対的コホモロジーのモデルを導入し、M 上で α が閉じていて、M∖F で dβ = α となるようにし、カットオフ関数によるサポートの制御を可能にする。
• 写像 p(a) = χα + dχβ を適用して、特異集合 F の近傍でコンパクトにサポートされたチャーン類の代表元を生成する。
• インデックス集合の分割に関する組合せ的推定を用いて、指数型形式の微分の均一なバウンドを確立し、多項式的および指数的減衰の制御を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド的または複素構造を備えたベクトルバンドルにおいて、等変相対的トム類の明示的で計算可能な代表元をどのように構築できるか。
• RQ2 等変コホモロジーにおいて、ボット変形の相対的チャーン類と相対的トム類の間の正確な関係は何か。
• RQ3 クイレンのスーパーカラーブ形式は相対的コホモロジー類とどのように関係し、コンパクトにサポートされた代表元を定義するために使用可能か。
• RQ4 等変コホモロジーの文脈において、曲率および接続項を含む指数型形式の微分に対する均一な推定は何か。
• RQ5 リーマン・ロッホの公式は、スーパーカラーブおよび相対的コホモロジー構成から明示的に導出可能か。

主な発見

• 相対的トム形式は、Th_rel(V) = [p*Eul(V), β_V] として明示的に与えられ、β_V は V∖M 上の形式で p*Eul(V) = dβ_V を満たす。
• ボット変形の相対的チャーン類は、リーマン・ロッホの公式を満たす：相対的コホモロジーにおいて p*(Todd(V)) · Ch_rel(σ_b) = Th_rel(V)。
• クイレンのチャーン類 Ch_Q(σ_b) はファイバー上で「ガウス型の外観」を示し、サポート制御を通じて相対的類と自然に関連している。
• 任意の基底 W 上の次数 r_W の微分作用素 D に対して、指数型形式の微分は、コンパクト集合上で一様に cst · (1+t)^{2r_W + q} · e^{-t² m(R(y))} で有界である。
• 微分推定の定数は、曲率および接続項のノルムに対して多項式的に依存し、t² に対して指数的減衰を示す。
• この構成により、写像 p(a) = χα + dχβ を通じて、定義され、計算可能でサポートが制御されたチャーン類の代表元が得られる。