[論文レビュー] Equivariant semiprojectivity

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コンパクト群の作用を伴うC*-代数における等長的半射性を導入し、有限次元C*-代数、クワンツ代数$\mathcal{O}_d$および$E_d$の擬自由作用、および有限群の擬自由作用を伴う$\mathcal{O}_\infty$が等長的半射的であることを確立する。有限群の場合、等長的半射性は生成子と関係式の等長的安定性と同値であり、$C^*(G)$はその自然な次数付き構造に関して次数付き半射的であることを示す。

ABSTRACT

We define equivariant semiprojectivity for C*-algebras equipped with actions of compact groups. We prove that the following examples are equivariantly semiprojective: arbitrary finite dimensional C*-algebras with arbitrary actions of compact groups; the Cuntz algebras ${\mathcal{O}}_d$ and extended Cuntz algebras $E_d,$ for finite $d,$ with quasifree actions of compact groups; the Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{\infty}$ with any quasifree action of a finite group. For actions of finite groups, we prove that equivariant semiprojectivity is equivalent to a form of equivariant stability of generators and relations. We also prove that if $G$ is finite, then $C^* (G)$ is graded semiprojective.

研究の動機と目的

• コンパクト群の作用を伴うC*-代数における等長的半射性の定義と理論の構築。
• 任意のコンパクト群作用を伴う有限次元C*-代数が等長的半射的であることを確立する。
• 有限$d$および有限群に対して、$\mathcal{O}_d$、$E_d$、および$\mathcal{O}_\infty$における擬自由作用が等長的半射的であることを証明する。
• 有限群の場合、等長的半射性が生成子と関係式の等長的安定性と同値であることを示す。
• $C^*(G)$ がその自然な$G$-次数付き構造に関して次数付き半射的であることを示す。

提案手法

• コンパクト群からの近似的な等長的ホモオモルフィズムが真のホモオモルフィズムに近いことを示す反復的手法を用い、ユニタリの関数計算を活用する。
• $\mathcal{O}_d$および$E_d$における擬自由作用に対して、コycleに基づく反復的構成を適用し、ブラックダールの手法を適応する。
• ユニタリ値写像$\rho_m: G \to U(C/J_n)$に対する極限過程を用いて、真の群ホモオモルフィズム$\rho: G \to U(C/J_n)$を構成する。
• $C^*(G)$の普遍性を用いて、構成されたホモオモルフィズムを次数付き$*$-ホモオモルフィズム$\psi: C^*(G) \to C/J_n$に引き上げる。
• 収束のためのノルム制御を保証するために、$\varepsilon$-バウンドを用いた摂動論法を適用する。
• 反復過程の収束を保証するため、一様な$\varepsilon_0$が存在し、$\|a - u\| < \varepsilon$ならば$\|a(a^*a)^{-1/2} - u\| < \varepsilon_0$が成り立つことを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト群作用を伴うどのC*-代数が等長的半射的か？
• RQ2 有限群作用の場合、等長的半射性は生成子と関係式の等長的安定性と同値か？
• RQ3 有限群による$\mathcal{O}_\infty$における擬自由作用は等長的半射的か？
• RQ4 $C^*(G)$ はその自然な$G$-次数付き構造に関して次数付き半射的か？
• RQ5 Rokhlin性質を、群が射影を正確に置換することを要請するように強化できるか？

主な発見

• 任意のコンパクト群の作用は、有限次元C*-代数に対して等長的半射的である。
• 有限$d$に対して、$\mathcal{O}_d$および$E_d$におけるコンパクト群の擬自由作用は等長的半射的である。
• 有限群による$\mathcal{O}_\infty$における擬自由作用は等長的半射的である。
• 有限群の場合、等長的半射性は生成子と関係式の等長的安定性と同値である。
• $C^*(G)$ はその自然な$G$-次数付き構造に関して次数付き半射的である。
• Rokhlin性質およびトレーシングRokhlin性質におけるRokhlin射影は、群によって正確に置換可能と要求できる。