[論文レビュー] Equivariant special L-values of abelian t-modules

Jiangxue Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、関数体上のアーベル的t-モジュールに対して、等変特殊L値の公式を確立し、等変類数公式の関数体版を提示する。Galois表現の∞-adic L値が、t-モジュールのリー代数およびその双対の特性多項式から生じることを証明し、L(n, ρ)とL(C⊗n, ρ)が有理関数の差異を除いて一致することを示す。特に、単純な分岐または射影的表現の下では等式が成り立つ。

ABSTRACT

We prove a formula of the equivariant infinity-adic special L-values of abelian t-modules. This gives function field analogues of the equivariant class number formula. As an application, we calculate the special values of Artin L-functions for Galois representations.

研究の動機と目的

• 関数体上のアーベル的t-モジュールに対して、古典的な数体の結果を正標数へ拡張する、等変特別L値理論を構築すること。
• t-モジュールおよびそのリー代数を用いて、等変類数公式の関数体版を確立すること。
• Galois表現の∞-adic L値を、剰余体上でのt-モジュール構造の特性多項式に関連付けること。
• L(n, ρ)とL(C⊗n, ρ)が有理関数の差異を除いて等しいことを証明し、特に単純な分岐または射影的表現の下で等式が成り立つこと。

提案手法

• ベース環の極大イデアルを用いた収束する無限積により、Frobenius元および剰余体拡張を用いて、∞-adic L値L(n, ρ)を定義する。
• E = C⊗nに対して、Homk[G](V, E(OL/pOL))およびHomk[G](V, Lie(E)(OL/pOL))を用いて、t-モジュールL値L(C⊗n, ρ)を導入する。
• 有限k[t][G]-加群Mに対して、|M|k[t][G]を特性多項式として用い、L値と行列式公式を関連付ける。
• 正規基底定理および指数写像の性質を適用し、L∞上でのリー代数とt-モジュールを関連付ける。
• トレース写像trρ: V ∗⊗k[G] OL → Homk[G](V, OL)を用い、その核および余核を解析することで、L(n, ρ)とL(C⊗n, ρ)を関連付ける。
• 定理1.11および補題3.18を適用し、複体の行列式を関連付けて、F((t−1))[G]における格子比を用いて主公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-モジュールを用いて、等変類数公式を関数体へどのように一般化できるか？
• RQ2 ∞-adic L値L(n, ρ)とt-モジュールに基づくL値L(C⊗n, ρ)の正確な関係は何か？
• RQ3 L(n, ρ)とL(C⊗n, ρ)が等しくなる条件は何か。また、それらが有理関数の差異を除いて一致するのはどのような場合か？
• RQ4 t-モジュールおよびリー代数構造の特性多項式が、正標数におけるL値をどのように符号化するか？
• RQ5 単純な分岐は、二つのL値構成の等式にどのような役割を果たすか？

主な発見

• MとNをトレース写像trρの核および余核とするとき、L(n, ρ) = L(C⊗n, ρ) · |Lie(C⊗n)(M)|F[t] / |C⊗n(M)|F[t] · |C⊗n(N)|F[t] / |Lie(C⊗n)(N)|F[t] が成り立つ。
• 単純な分岐またはVがF[G]-加群として射影的であるとき、トレース写像は同型であるから、L(n, ρ) = L(C⊗n, ρ) が成り立つ。
• 比L(n, ρ)/L(C⊗n, ρ)はF(t)×に属するため、二つのL値が有理関数の差異を除いて等しいことが示される。
• 特性多項式 |Homk[G](V, E(OL/pOL))|F[t] / |Homk[G](V, Lie(E)(OL/pOL))|F[t] は、L値 detF[[t−1]](1 − ρ(FrobP)/|κp|n k[t], VIP[[t−1]])−1 に等しい。
• カルリッツモジュールのn重テンソル積に対して、|C⊗n(OL/pOL)|k[t][G] = |κp|n k[t] − FrobP および |Lie(C⊗n)(OL/pOL)|k[t][G] = |κp|n k[t] が成り立つ。
• 主公式は、L(n, ρ) = [Homk[G](V, Lie(C⊗n)(OL)) : Homk[G](V, exp−1(C⊗n(OL)))]F((t−1)) · |H(C⊗n, ρ)|F[t] · |Lie(C⊗n)(M)|F[t] / |C⊗n(M)|F[t] · |C⊗n(N)|F[t] / |Lie(C⊗n)(N)|F[t] である。