[論文レビュー] Equivariant Spectral Sequences for Local Coefficients

Megan Guichard Shulman|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所係数を持つブレドンコホモロジーを計算するための等長スペクトル系列を構築し、普遍被覆と群環作用を用いてアイレンバーグの非等長スペクトル系列を一般化する。この手法を用いて、$B_{C_p}O(2)$ の等長コホモロジーを計算し、それは $H^{*}_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$ の $\mathbb{Z}/2$-不変部分代数に同型であり、$D_{2k}$、$D_{2k-1}C$、$C^2$ などの特定の類によって生成されることを示す。スペクトル系列は $E_2$ で収束し、ホモロジー群の射影性により拡張問題がない。

ABSTRACT

We recall how a description of local coefficients that Eilenberg introduced in the 1940s leads to spectral sequences for the computation of homology and cohomology with local coefficients. We then show how to construct new equivariant analogues of these spectral sequences and give a worked example of how to apply them in a computation involving the equivariant Serre spectral sequence. This paper contains some of the material in the author's Ph.D. thesis, which also discusses some results of L. Gaunce Lewis on the cohomology of complex projective spaces and corrects some flaws in his paper.

研究の動機と目的

• 局所係数を持つホモロジーおよびコホモロジーのためのアイレンバーグのスペクトル系列の等長版を開発すること。
• 特にセールスペクトル系列の応用において、非自明な局所系を持つ等長コホモロジーを計算するためのツールの不足を補うこと。
• ルイスの複素射影空間のコホモロジーに関する研究における欠陥を是正し、このような計算のための厳密な枠組みを提供すること。
• 等長アイレンバーグスペクトル系列を用いて、$H^{*}_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$ の詳細な計算を提示すること。
• $S^\infty$ のホモロジーの射影性により、セールスペクトル系列が $E_2$ で収束し、拡張問題がないことを示すこと。

提案手法

• 普遍被覆 $\tilde{X}$ と $R[\pi_1(X)]$-加群構造を用いたアイレンバーグの局所係数の定義を、等長設定に一般化する。
• カテゴリ $\Pi = \Pi_{C_p} B_{C_p} \mathbb{Z}/2$ と $S^\infty$ の $\Pi$-加群としてのホモロジーを用いて、等長アイレンバーグスペクトル系列を構成する。
• ファイブレーション $f: B_{C_p}O(2) \to B_{C_p}\mathbb{Z}/2$ にスペクトル系列を適用し、局所係数系 $h_{C_p}^{V+t}(f;A)$ を用いる。
• $\mathcal{H}_*(S^\infty)$ が 0 または $\underline{\mathbb{F}_q}$ であり、両者とも射影的であることから、$\operatorname{Ext}^u$ が $u > 0$ のとき消えることを示し、$E_2$ で収束することを示す。
• $\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \cdot)$ を用いて、$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$ が $H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$ の $\mathbb{Z}/2$-作用による固定部分代数であることを特定する。
• $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$ が $\underline{H}^*_{C_p}(\mathbb{C}P(\mathcal{U}))$ の生成元 $D_{2k}, D_{2k-1}C, C^2$ に関して部分グリーン関手であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C_p$-作用を伴う等長設定において、アイレンバーグの非等長スペクトル系列を局所係数についてどのように一般化できるか。
• RQ2 局所係数付きの等長セールスペクトル系列が収束する条件は何か。また、拡張問題を回避するにはどうすればよいか。
• RQ3 $B_{C_p}O(2)$ のコホモロジーは、$\mathbb{Z}/2$-作用の下で $B_{C_p}SO(2)$ のコホモロジーとどのように関係するか。
• RQ4 $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$ のグリーン関手の構造は、生成子と関係式を用いてどのように記述できるか。
• RQ5 等長アイレンバーグスペクトル系列を用いて、$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$ を明示的に計算できるか。

主な発見

• 等長アイレンバーグスペクトル系列は、$\mathcal{H}_*(S^\infty)$ が $\Pi$-加群として射影的であるため、$E_2$ で収束し、拡張問題がない。
• セールスペクトル系列の $E_2$ ページは $\operatorname{Hom}_\Pi(\mathcal{H}_*(S^\infty), h_{C_p}^{V+t}(f;A))$ に同型であり、$u > 0$ のとき $\operatorname{Ext}^u$ が消えるため簡約される。
• $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A)$ は $H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)$ の $\mathbb{Z}/2$-不変部分代数に同型であり、すなわち $H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A) \cong H^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2);A)^{\mathbb{Z}/2}$ である。
• $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}O(2))$ は、生成子 $D_{2k}$、$D_{2k-1}C$、$C^2$ によって生成される $\underline{H}^*_{C_p}(B_{C_p}SO(2))$ の部分グリーン関手である。
• 計算により、$H^*_{C_p}(B_{C_p}O(2);A \otimes \mathbb{F}_q)$ が、$H^*(\mathbb{C}P^\infty)$ の非等長生成子 $x$ の偶数乗によって生成され、$\mathbb{Z}/2$-固定部分に制限されたものであることが確認された。
• $\operatorname{Hom}_\Pi(\underline{\mathbb{F}_q}, \scr{N})$ は $\scr{N}(C_p, x_0)^{\mathbb{Z}/2}$ に一対一対応し、これによりコホモロジーが固定部分として明示的に特定できる。