[論文レビュー] Equivariant symplectic geometry of cotangent bundles, II

Dmitri A. Timashev|ArXiv.org|Feb 14, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、再帰的群の作用を受ける任意の滑らかな代数的多様体に対して、Vinbergの余変換シンプレクティック被覆構成を、準アフィン多様体の余接 bundle から一般化する。精密化された局所構造定理を用いて、退化する旗関数多様体の余接 bundle を用いた $T^*X$ の有理的ガロア被覆を構成し、$G$、$A$、およびワイル群のシンプレクティック作用を通じて不変集団運動の統合を可能にする。

ABSTRACT

We examine the structure of the cotangent bundle $T^{*}X$ of an algebraic variety $X$ acted on by a reductive group $G$ from the viewpoint of equivariant symplectic geometry. In particular, we construct an equivariant symplectic covering of $T^{*}X$ by the cotangent bundle of a certain variety of horospheres in $X$, and integrate the invariant collective motion on $T^{*}X$. These results are based on a "local structure theorem" describing the action of a certain parabolic in $G$ on an open subset of $X$, which is interesting by itself.

研究の動機と目的

• 準アフィン多様体から任意の滑らかな代数的多様体への Vinberg の $T^*X$ の有理的ガロア被覆の拡張。
• 退化状態を含む場合でも、旗関数多様体の余接 bundle を用いた $T^*X$ の等変シンプレクティック被覆の構成。
• 非退化性仮定を課さずに、Knop のモーメント写像と一般位置における安定化部分群に関する結果の古典的・非量子化された証明の提供。
• シンプレクティック作用による $A$ およびワイル群の作用を通じて、被覆空間への上昇を用いて $T^*X$ 上の不変集団運動を統合。
• モーメント写像の像、旗関数幾何学、および $T^*X$ 上の可積分ハミルトニアン系を結びつける幾何的枠組みの確立。

提案手法

• パラボリック部分群の $X$ の開部分集合への作用を記述する精密化された局所構造定理を発展させ、既存の結果を一般化する。
• モーメント写像 $\Phi: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 及びそのクロスセクション $\Sigma$ への制限を用いてシンプレクティック構造を分析する。
• 群 $A = Z(M)/(Z(M) \cap L_0)$ を用いて、旗関数多様体の余接 bundle を介した $\mathrm{pr}$-型のシンプレクティック被覆 $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ を構成する。
• $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ に作用する $A$-作用を定義し、その歪勾配ベクトル場が不変集団運動を統合する。
• $G \times (W_X \rtimes A)$ が $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上にハミルトニアン作用を持ち、モーメント写像 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $ を持つことを確立する。これは $G$-および $A$-シンプレクティック作用を統合する。
• $A$-作用が自由かつシンプレクティックであり、その軌道が $X$ のフラットに対応し、$A$ に同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vinberg の $T^*X$ のシンプレクティック被覆構成は、準アフィン多様体を超えて一般化可能か？
• RQ2 モーメント写像の像および一般位置における安定化部分群は、旗関数多様体およびパラボリック部分群の幾何学とどのように関係するか？
• RQ3 多様体 $X$ の非退化性を仮定せず、$T^*X$ 上の不変集団運動を統合することは可能か？
• RQ4 ワイル群および中心化群 $Z(M)$ は、シンプレクティック被覆および軌道構造において果たす役割は何か？
• RQ5 等変コンパクト化における一般フラットの閉包は、トーリック多様体および等変埋め込み理論とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、退化する旗関数多様体の余接 bundle を用いて、$\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X \to T^{\mathrm{pr}}X$ の等変シンプレクティック有理的ガロア被覆を構成する。
• $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上の $A$-作用は不変集団運動を統合し、その軌道は $A$ に同型であり、$X$ のフラットに対応する。
• $T^*X$ のモーメント写像の像はクロスセクション $\Sigma$ を通じて記述され、局所構造定理を用いて一般位置における安定化部分群が特定される。
• $A$-作用はシンプレクティックであり、そのモーメント写像 $\Pi$ は $G$-不変で、歪勾配が $\mathfrak{a}$ の元 $\xi$ の速度場と一致する。
• $W_X \rtimes A$ は $\widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ 上にシンプレクティックに作用し、$G$、$A$、$W_X$ の組み合わせ作用はモーメント写像 $ (\widehat{\Phi}, \Pi) $ を持つハミルトニアン系をもたらす。
• 一般の $\alpha \in \widehat{T}^{\mathrm{pr}}X$ に対して、不変集団運動の軌道は $ (G_\mu)^\circ \alpha $ であり、対応するフラット $F_\alpha \simeq A $ である。