[論文レビュー] Equivariant symplectic homology, linearized contact homology and the Lagrangian capacity

Miguel Pereira|arXiv (Cornell University)|May 26, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、4次元の凸トーリックドメインのラグランジュ容量を計算し、McDuff–SiegelおよびGutt–Hutchingsのシンプレクティック容量との比較により、それが対角容量に等しいことを証明する。等長的シンプレクティックホモロジーと線形化された接触ホモロジーを、仮想的摂動仮定の下で用いることで、楕円体における擬似自己同型的ホロモルフィック曲線の正規性を確立し、任意の次元における凸または凹のトーリックドメインにおいても計算が可能になる。

ABSTRACT

We establish computational results concerning the Lagrangian capacity from "Cieliebak and Mohnke - Punctured holomorphic curves and Lagrangian embeddings". More precisely, we show that the Lagrangian capacity of a 4-dimensional convex toric domain is equal to its diagonal. The proof involves comparisons between the Lagrangian capacity, the McDuff-Siegel capacities from "McDuff and Siegel - Symplectic capacities, unperturbed curves, and convex toric domains", and the Gutt-Hutchings capacities from "Gutt and Hutchings - Symplectic capacities from positive S1-equivariant symplectic homology". Working under the assumption that there is a suitable virtual perturbation scheme which defines the curve counts of linearized contact homology, we extend the previous result to toric domains which are convex or concave and of any dimension. For this, we use the higher symplectic capacities from "Siegel - Higher symplectic capacities". The key step is showing that moduli spaces of asymptotically cylindrical holomorphic curves in ellipsoids are transversely cut out.

研究の動機と目的

• 4次元の凸トーリックドメインのラグランジュ容量を計算すること。
• 高次元の凸または凹のトーリックドメインにおける計算を、高度なシンプレクティック容量を用いて拡張すること。
• 楕円体における漸近的に円筒型のホロモルフィック曲線のモジュライ空間の正規性を確立すること。
• 不等式連鎖を用いてラグランジュ容量をMcDuff–Siegel容量およびGutt–Hutchings容量と関連付けること。
• 仮想的摂動仮定の下で等長的シンプレクティックホモロジーと線形化された接触ホモロジーを用いた計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 作用と語長フィルトレーションを介して定義される、Gutt–Hutchings容量 $ c^{ ext{GH}}_k $ および高次シンプレクティック容量 $ ilde{rak{g}}^{ ext{≤1}}_k $, $ rak{g}^{ ext{≤1}}_k $ を用いる。
• 作用フィルトレーション $ rak{A}^{ ext{≤a}} $ と語長フィルトレーション $ rak{B}^{ ext{≤ℓ}} $ を用いて、線形化された接触ホモロジーからの容量を定義する。
• $ S^1 $-作用を伴うシンプレクティック多様体におけるホロモルフィック曲線の分析に、等長的シンプレクティックホモロジーを用いる。
• 線形化された接触ホモロジーにおける曲線の数え上げを定義するため、仮想的摂動スキームに依存し、その存在を仮定する。
• 楕円体における漸近的に円筒型のホロモルフィック曲線のモジュライ空間の正規性を証明する。
• 容量間の不等式を合成して、特定のホモロジー写像が非自明になる作用レベルの下限としてラグランジュ容量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元の凸トーリックドメインのラグランジュ容量は何か？
• RQ2 ラグランジュ容量、McDuff–Siegel容量、Gutt–Hutchings容量はシンプレクティック幾何学においてどのように関係しているか？
• RQ3 ホロモルフィック曲線不変量を用いて、高次元の凸または凹のトーリックドメインにおけるラグランジュ容量を計算できるか？
• RQ4 楕円体における漸近的に円筒型のホロモルフィック曲線のモジュライ空間が、どのような条件下で正規的に切断されるか？
• RQ5 線形化された接触ホモロジーからのスペクトル不変量を用いて、ラグランジュ容量をどの程度まで計算できるか？

主な発見

• 4次元の凸トーリックドメインのラグランジュ容量は、その対角容量に等しい。
• 線形化された接触ホモロジーにおける仮想的摂動スキームの仮定のもとで、任意の次元における凸または凹のトーリックドメインへの計算が拡張可能である。
• 楕円体における漸近的に円筒型のホロモルフィック曲線のモジュライ空間の正規性が確立され、重要な技術的ステップが達成された。
• ラグランジュ容量が、シンプレクティック容量の不等式連鎖により、上界と下界が同じ値で抑えられることを示した。
• 線形化された接触ホモロジーにおけるフィルトレーションを介して定義される高次シンプレクティック容量 $ rak{g}^{ ext{≤1}}_k $ と $ ilde{rak{g}}^{ ext{≤1}}_k $ が、計算において中心的な役割を果たした。
• ラグランジュ容量が埋め込まれたラグランジュトーラスを介して定義されるが、シンプレクティックトポロジーにおけるホロモルフィック曲線不変量を用いて計算可能であることが示された。