[論文レビュー] Equivariant Systems Theory and Observer Design

Robert Mahony, Tarek Hamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 50被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、同相空間上に存在する非線形システムの観測者設計の基盤的枠組みを、同変システム理論とリー群の対称性を活用することで確立する。同変入力拡張および持ち上げられた誤差ダイナミクスを導入することで、安定でほぼ全域的（almost global）な観測者設計を可能にし、主な結果として誤差ダイナミクスが状態多様体そのものではなく、対称性群上での対称性を保つ構造を介して分解・安定化できることを示している。

ABSTRACT

A wide range of system models in modern robotics and avionics applications admit natural symmetries. Such systems are termed equivariant and the structure provided by the symmetry is a powerful tool in the design of observers. Significant progress has been made in the last ten years in the design of filters and observers for attitude and pose estimation, tracking of homographies, and velocity aided attitude estimation, by exploiting their inherent Lie-group state-space structure. However, little work has been done for systems on homogeneous spaces, that is systems on manifolds on which a Lie-group acts rather than systems on the Lie-group itself. Recent research in robotic vision has discovered symmetries and equivariant structure on homogeneous spaces for a host of problems including the key problems of visual odometry and visual simultaneous localisation and mapping. These discoveries motivate a deeper look at the structure of equivariant systems on homogeneous spaces. This paper provides a comprehensive development of the foundation theory required to undertake observer and filter design for such systems.

研究の動機と目的

• 現代のロボット工学および航空電子分野に広く見られる均質的状態空間を有するシステムにおける観測者設計の統一的理論的基盤を構築すること。
• 視覚オドメトリーやSLAMなどの問題に広く現れる均質的多様体上のシステムに対して、体系的な観測者設計手法の不足に取り組むこと。
• 特に、ダイナミクスを対称性群へ持ち上げることで誤差解析を簡素化する、対称性と同変性の観測者設計への形式的利用を明確化すること。
• 同変拡張を用いることで、状態空間の幾何的構造を活用することで、観測者の安定性と性能が著しく向上することを示すこと。
• SO(3)、SE(3)、SL(3)に加え、TSO(3) や TSE(3) といった新たな構造を含む広範なクラスのシステムに適用可能な一般化された手法を提供すること。

提案手法

• 本稿は、均質的空間上に存在するシステムをその対称性リー群上に対応するシステムへ写像する「システムの持ち上げ（system lift）」の概念を導入し、群構造を用いた解析を可能にする。
• 入力が群作用に対して一貫して変化するようにする「同変入力拡張（equivariant input extension）」を定義し、ダイナミクスにおける対称性を保つ。
• 誤差ダイナミクスは、随伴表現および群作用の微分を用いて群作用の観点から表現され、不変誤差の定式化を可能にする。
• 主なイノベーションは、誤差ダイナミクスを変換された入力 w(t) = ψ_X^{-1}(v(t)) を通じて、観測者状態にのみ依存する形に変換する同変リフト Λ: M × V → g の使用である。
• その結果得られる誤差ダイナミクス（式 48）は、全状態から分離されており、誤差 e と変換された入力 w(t) のみに依存するため、安定化が容易になる。
• 非線形イノベーション関数 Δ_t によって観測者アーキテクチャが定義され、拡張カルマンフィルタの原則や構成的非線形設計の知見を用いて設計が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間がリー群ではなく均質的多様体であるシステムに、観測者設計を体系的に一般化する方法は何か？
• RQ2 同変性と群対称性は、非線形システムの安定でグローバル収束性を持つ観測者設計を可能にする役割を果たすか？
• RQ3 システムを対称性群へ持ち上げることで、誤差ダイナミクスを全システム状態から分離する方法は何か？
• RQ4 不変誤差が存在するための条件は何か？
• RQ5 システムへの入力をどのように同変に拡張すれば、観測者ダイナミクスにおける対称性を保てるか？

主な発見

• 本稿は、任意の均質的空間上に存在する運動学的システムに対して、対称性群へのシステムの持ち上げにより同変観測者を構築可能であり、安定な誤差ダイナミクスを実現できることを確立している。
• 持ち上げた枠組みで表現された誤差ダイナミクスは、誤差 e と変換された入力 w(t) のみに依存し、全状態とは独立しているため、安定化が簡素化される。
• 不変誤差の存在が証明され、イノベーション関数が適切に設計されれば、グローバル安定な観測者が定義可能であることが示されている。
• 本手法は、既存のIEKF や MEKF のアプローチを、リー群状態空間に限らない均質的空間上に存在するシステムへ一般化し、その適用範囲を拡張している。
• 先行研究における視覚SLAMや速度補助姿勢推定の分野で示されたように、本フレームワークは観測者のほぼ全域的漸近的安定性を実現可能である。
• 本理論は、ロボット工学および航空電子分野における、均質的多様体上で対称性を示す新しい問題の観測者設計の基盤を提供する。