[論文レビュー] Equivelar and d-Covered Triangulations of Surfaces. II. Cyclic Triangulations and Tessellations

Frank H. Lutz|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての q = 3k (k ≥ 2) および q = 3k+1 (k ≥ 3) に対して、可定向および非可定向な曲面上で頂点推移的かつ q-等正則な三角形分割をもたらす、無限個の巡回的三角形分割族——特に [0,1,2]-族——を導入する。本稿は、このような三角形分割の明示的2パラメータ系列を構成し、それに対応する巡回的タイル張りを導出し、従来の例を超える無限系列の q-等正則三角形分割の存在を証明している。特に、q = 7 に対する最初の体系的構成も得ている。

ABSTRACT

With the $[0,1,2]$-family of cyclic triangulations we introduce a rich class of vertex-transitive triangulations of surfaces. In particular, there are infinite series of cyclic $q$-equivelar triangulations of orientable and non-orientable surfaces for every $q=3k$, $k\geq 2$, and every $q=3k+1$, $k\geq 3$. Series of cyclic tessellations of surfaces are derived from these triangulated series.

研究の動機と目的

• q がこれまでに調査されていなかった値である場合に、曲面上で頂点推移的かつ q-等正則な三角形分割の明示的無限族を構成すること。
• 古典的な Ringel や Altshuler の構成を超えて、既知の巡回的三角形分割系列を拡張すること。
• [0,1,2]-族フレームワークを用いて、巡回的三角形分割とその導出タイル張りを体系的に生成する方法を提供すること。
• q ≥ 6 で q = 5 および q = 6 を除くすべての許容可能な q に対して、q-等正則三角形分割の存在問題を解決し、無限系列を構成すること。
• 基本領域を記述し、三角形分割からタイル張りを導出し、種のパターンからの辺の削除によって得られる強正則セル分割を含む。

提案手法

• 巡回群内の特定の差集合を用いて、頂点推移的で次数が制御された三角形分割を生成する [0,1,2]-族の巡回的三角形分割が定義される。
• q = 3k または q = 3k+1 の q-等正則性を保証するために、巡回的対称性と差集合を用いて、2パラメータ系列 S_{k,n}, T_{k,n}, ..., Z_{k,n} が構成される。
• q-等正則三角形分割の f ベクトルは f = (n, nq/2, nq/3) として導出され、頂点数 n と頂点次数 q、オイラー標数との関係が示される。
• 基本領域を分析してタイル張りを導出し、種のパターンからの辺の削除によって (s+2)-角形セル分割が得られる。
• q = 7 の場合、 genus-2 の曲面上に12頂点を持つ巡回的 7-等正則三角形分割がちょうど2つ存在することを証明している。
• 既知の多面体的マップ（例：Brehm の {5,5}-マップ）の一般化が、差集合構成を用いて無限系列 D_{ {2k+1,2k+1} }(n) および D_{ {2k,2k} }(n) に拡張されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての q = 3k (k ≥ 2) および q = 3k+1 (k ≥ 3) に対して、無限族の巡回的 q-等正則三角形分割を構成できるか？
• RQ2 既知の系列を超えて、頂点推移的対称性を持つ曲面の巡回的三角形分割の構造と存在条件は何か？
• RQ3 巡回的三角形分割を体系的に、強正則セル分割を持つタイル張りに変換する方法は何か？
• RQ4 巡回的三角形分割が正則な面および頂点パターンを持つ多面体的マップを導くために必要な十分条件は何か？
• RQ5 どのような q と n に対して、曲面上の巡回的 q-等正則三角形分割が存在し、それらを明示的にパラメータ化できるか？

主な発見

• 本稿は、すべての q = 3k (k ≥ 2) および q = 3k+1 (k ≥ 3) に対して、可定向および非可定向な曲面上で無限系列の巡回的 q-等正則三角形分割を構成し、それらの存在を証明している。
• q = 7 の場合、ちょうど2つの巡回的 7-等正則三角形分割が存在し、両方とも12頂点を持つ可定向な genus-2 の曲面上にある。
• 2パラメータ系列 S_{k,n}, T_{k,n}, ..., Z_{k,n} は明示的に定義され、q = 3k または q = 3k+1 の q-等正則三角形分割を生成することが示されている。
• [0,1,2]-族は頂点推移的三角形分割を生成する包括的フレームワークを提供し、すべてのこのような三角形分割は q = 3k または q = 3k+1 のタイプに分類される。
• 種のパターンからの内部辺の軌道の削除により、強正則タイル張りが得られ、Brehm の {5,5}-マップや {6,6}-マップの一般化も含まれる。
• 系列 D_{ {2k+1,2k+1} }(n) および D_{ {2k,2k} }(n) は、r が偶数のとき可定向、r が奇数のとき非可定向であることが示されており、既知の多面体的マップ構成が拡張されている。