[論文レビュー] Erasures repair for decreasing monomial-Cartesian and augmented Reed-Muller codes of high rate

Hiram H. López, Gretchen L. Matthews+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リード＝マラーおよびカルテシアン符号にベクトルを追加して得られる拡張リード＝マラー（ARM）および拡張カルテシアン（ACar）符号を導入する。これらは、1つまたは2つのエラーが発生した場合の効率的な線形正確修復を可能にする評価符号である。従来の手法とは異なり、ARMおよびACar符号における2エラー修復には、エラー発生位置に制限がない。また、固定された次元または長さのもとで、これらの符号はリード＝ソロモン符号やヘルミート符号よりも低い帯域幅を達成する。漸近的解析により、拡張度が増加するに従い、ARMおよびACar符号は帯域幅が0に近づき、レートが1に近づくことが示された。

ABSTRACT

In this work, we present linear exact repair schemes for one or two erasures in decreasing monomial-Cartesian codes DM-CC, a family of codes which provides a framework for polar codes. In the case of two erasures, the positions of the erasures should satisfy a certain restriction. We present families of augmented Reed-Muller (ARM) and augmented Cartesian codes (ACar) which are families of evaluation codes obtained by strategically adding vectors to Reed-Muller and Cartesian codes, respectively. We develop repair schemes for one or two erasures for these families of augmented codes. Unlike the repair scheme for two erasures of DM-CC, the repair scheme for two erasures for the augmented codes has no restrictions on the positions of the erasures. When the dimension and base field are fixed, we give examples where ARM and ACar codes provide a lower bandwidth (resp., bitwidth) in comparison with Reed-Solomon (resp., Hermitian) codes. When the length and base field are fixed, we give examples where ACar codes provide a lower bandwidth in comparison with ARM. Finally, we analyze the asymptotic behavior when the augmented codes achieve the maximum rate.

研究の動機と目的

• 高レート評価符号における1または2エラーの修復方式を開発すること。特に、リード＝ソロモン符号に適用可能なGW方式が適用できない状況を想定する。
• 標準のリード＝マラーおよびカルテシアン符号にベクトルを追加することで、拡張リード＝マラー（ARM）および拡張カルテシアン（ACar）符号を設計し、次元を増加させ、より広い条件下での修復を可能にする。
• 固定された次元または長さのもとで、ARMおよびACar符号の帯域幅とビット幅をリード＝ソロモン符号やヘルミート符号と比較する。
• 拡張度 t → ∞ の漸近的挙動を分析し、レートと帯域幅に注目する。
• ARMおよびACar符号が、極限において高いレート（1に近づく）と低い修復帯域幅（0に近づく）を達成できることを示す。

提案手法

• 本稿では、拡張体 K = Fqt 上で評価符号としてARMおよびACar符号を構築し、リード＝マラーおよびカルテシアン符号にそれぞれ特定のベクトルを追加することで次元を増加させる。
• 部分記号と体のトレース関数 TrK/Fq を用いた線形正確修復方式を開発し、最小限のデータダウンロードで失われた記号を回復する。
• 1エラーの場合、トレース関数と部分記号分解を用いて、帯域幅 b = |K|m −1 + (t−1)(|K|m−1 −1) で失われた成分を再構成する。
• 2エラーの場合、DM-CCにおけるある代数的条件を満たす場合にのみ修復方式が適用可能であるが、ARMおよびACar符号ではそのような制限がない。
• 帯域幅とレートを、t → ∞ のもとで漸近的に分析し、最適なパrameter選択のもとで limt→∞ 帯域幅/nt → 0 および limt→∞ レート → 1 が成り立つことを示す。
• 例として、評価集合を変化させたもの（例：ni = qt−1 + 1、ni = qt−1、または nm = 2qt−1）を用い、0から 1 − 1/qm の間で異なる漸近的レート限界を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GW方式がリード＝ソロモン符号に適用できない高レート評価符号において、1または2エラーの修復方式を開発できるか？
• RQ2 固定された次元または長さのもとで、拡張リード＝マラーおよび拡張カルテシアン符号は、リード＝ソロモン符号やヘルミート符号よりも低い修復帯域幅を達成できるか？
• RQ3 拡張度 t → ∞ のとき、ARMおよびACar符号のレートと帯域幅の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 評価集合の選択が、漸近的領域におけるACar符号の達成可能なレートと帯域幅に与える影響は何か？
• RQ5 ACar符号は、エラー発生位置に制限がない状況で、高いレートと低い修復帯域幅を達成できるように設計できるか？

主な発見

• 固定された次元と基礎体のもとで、ARM符号は特定のパrameter領域において、リード＝ソロモン符号より低い帯域幅、ヘルミート符号より低いビット幅を達成する。
• 長さと基礎体が固定された場合、特定の例ではACar符号がARM符号よりも低い帯域幅を達成できる。
• ARM2(Km, k∗) の漸近的レートは t → ∞ のとき1に近づき、帯域幅/nt → 0 となる。
• ACar1(S, k∗) で ni = qt−1 + 1（すべての i に対して）の場合、漸近的レートは0に近づくが、ni = qt−1（i < m に対して）かつ nm = 2qt−1 の場合、レートは1/2に近づく。
• |S| = Km のとき、ACar1(S, k∗) の漸近的レートは 1 − 1/qm に近づき、ARM1符号の極限と一致する。
• すべてのケースにおいて、帯域幅/長さ比 帯域幅/nt は t → ∞ のとき0に近づくため、漸近的領域では効率的な修復が可能である。